VREMENSKA VREDNOST NOVCA STRUČNA OBUKA ZA PROCENITELJE VREDNOSTI NEPOKRETNOSTI 02. februar 2019 – 30. mart 2019. VREMENSKA VREDNOST NOVCA Prof. dr Zoran Grubišić 24.02.2019 Beograd

SADRŽAJ TEME KAMATA PROSTA KAMATA SLOŽENA KAMATA ANUITETI UKAMAĆENJE ULOGA VIŠE PUTA GODIŠNJE AMORTIZACIJA ZAJMA

Ciljevi predavanja Razumevanje koncepta “vremenske vrednosti novca" Razumevanje odnosa sadašnje i buduće vrednosti Objašnjenje korišćenja kamatna stopa u određivanju vrednosti novčanog toka (unapred i unazad) u određenoj tački u vremenu Upoznavanje sa tehnikom obračuna buduće i sadašnje vrednosti a) iznosa investiranog danas; b) ujednačenog novčanog toka (anuiteta) i c) mešovitog novčanog toka Razumevanje razlike između “običnog” i “dospelog” anuiteta. Korišćenje tabela kamatnih faktora u obračunu sadašnje i buduće vrednosti Korišćenje tabela kamatnih faktora u obračunu nepoznate kamatne stope ili stope rasta kada su poznati broj perioda otplate i sadašnja vrednost. Obračun otplate kredita sa jednakim anuitetima.

Kamata je cena upotrebe novca i ona zavisi od: glavnice novca koji se koristi dužine vremena u kome se novac koristi cene korišćenja novca (kamatna stopa) i premija za rizik

Šta biste više voleli - 10,000 din/$ danas KAMATA Šta biste više voleli - 10,000 din/$ danas ili 10,000 din/$ za 5 godina? Očigledno, 10.000 din/$ danas. Iz ovoga već uočavate da je VREME NOVAC!!

Šta biste više voleli - 10,000 din/$ danas KAMATA Šta biste više voleli - 10,000 din/$ danas ili 11,000 din/$ za 1, 2..., 5 godina ili 12,000 din/$ za 1, 2..., 5 godina ili 13,000 din/$ za 1, 2..., 5 godina ili 14,000 din/$ za 1, 2..., 5 godina

Zašto je VREME tako važan element u vašoj odluci? ZAŠTO “VREME”? Zašto je VREME tako važan element u vašoj odluci? VREME vam pruža mogućnost da odložite potrošnju, zaradite KAMATU i povećate potrošnju u budućnosti

VREMENSKA VREDNOST NOVCA Novac može da promeni vrednost tokom vremena zbog efekta ukamaćivanja i pod uticajem eventualne inflacije Primer a) Sa 1.000 dinara na početku godine može se kupiti 10 jedinica robe po ceni od 100 dinara po jedinici robe Ako opšti nivo cena na kraju godine poraste za 10%, za istu količinu roba (10 jedinica) biće potrebno 1.100 dinara Primer b) Ukoliko se 1.000 dinara pozajmi od banke na početku godine po ceni (kamatnoj stopi) od 10% godišnje, po isteku godine dužnik vraća banci ukupno 1.100 dinara i to: 1.000 dinara glavnice i 100 dinara kamate

VRSTE KAMATE Prosta kamata Kamata plaćena (zarađena) po osnovu pozajmljenog (datog na zajam) iznosa glavnice Složena kamata Kamata plaćena (zarađena) po osnovu ranije zarađene kamate, kao i pozajmljenog (datog u zajam) iznosa glavnice

JEDNOSTAVNA ILI PROSTA KAMATA KAMATA PLAĆENA NA INICIJALNO POSUĐENI IZNOS NOVCA, ODNOSNO NA GLAVNICU DUGA Jednostavna ili prosta kamata je funkcija tri varijable: Glavnice kao pozajmljenog iznosa Kamatne stope kao cene vremenske upotrebe novca Vremenskog razdoblja za koje je novac pozajmljen

FORMULA ZA RAČUNANJE PROSTE KAMATE Formula SI = P0(i)(n) SI: Prosta kamata P0: Početno deponovani (pozajmljeni) iznos (t=0) i: Kamatna stopa n: Broj perioda

OBRAČUN JEDNOSTAVNE ILI PROSTE KAMATE Primer P0 =100 din/$, i = 8% n = 10 godina Si=?

OBRAČUN JEDNOSTAVNE ILI PROSTE KAMATE Primer Si = P0 *i*n = 100*0,08*10 = 80

BUDUĆA VREDNOST NOVCA ILI KONAČNA VREDNOST (obračun po prostoj kamati) BUDUĆA VREDNOST: vrednost sadašnjeg novčanog iznosa u nekom budućem vremenu procenjena po datoj kamatnoj stopi

BUDUĆA VREDNOST NOVCA ILI KONAČNA VREDNOST (obračun po prostoj kamati) Obračun buduće vrednosti: FVn = P0 + P0*i*n ili FVn = P0 * [1+(i*n)] Legenda: FVn – buduća vrednost novca P0 – glavnica novčanog iznosa i – kamatna stopa n – vremenski period (broj dana, meseci ili godina)

BUDUĆA VREDNOST NOVCA ILI KONAČNA VREDNOST (obračun po prostoj kamati) Zadatak - pitanje: Ako vaš ulog na bankovnom računu iznosi 100 din/$, a banka vam po metodu proste kamate obračunava godišnje 8%, koliko će iznositi vaš ulog nakon 10 godina štednje? P0 = 100 din i = 8% n = 10 god FV10 = ?

BUDUĆA VREDNOST NOVCA ILI KONAČNA VREDNOST (obračun po prostoj kamati) Zadatak - odgovor: Ako vaš ulog na bankovnom računu iznosi 100 din/$, a banka vam po metodu proste kamate obračunava godišnje 8%, koliko će iznositi vaš ulog nakon 10 godina štednje? FVn = P0 * [1+(i*n)] FV10 = 100 * [1+(0,08*10)] FV10 = 100 * (1+0,8) FV10 = 180 din/$

SADAŠNJA VREDNOST NOVCA (obračun po prostoj kamati) Šta je SADAŠNJA VREDNOST (PV) novca u pređašnjem primeru? To je prosto 100 din/$ koji ste stavili na račun, tj. današnja vrednost novca koji očekujemo da primimo (platimo) u budućnosti! Sadašnja vrednost je sadašnja vrednost budućeg iznosa novca ili serije plaćanja, vrednovanih po zadatoj kamatoj stopi

SADAŠNJA VREDNOST NOVCA (obračun po prostoj kamati) Sadašnja vrednost budućih novčanih iznosa: ako je, dakle: FVn = P0 * [1+(i*n)], a PVn = P0 onda je PVn = P0 = FVn / [1 + (i*n)] Legenda: PVn - sadašnja vrednost novčanog iznosa koji će se dobiti nakon n vremenskih perioda i – kamatna stopa n – vremenski period (broj dana, meseci ili godina) FVn – novac koji će se dobiti u budućnosti

SADAŠNJA VREDNOST NOVCA (obračun po prostoj kamati) Zadatak - pitanje: Prema planu poslovanja vaša kompanija u 10. godini poslovanja očekuje profit od 3.600 din/$. Kolika je sadašnja vrednost ovog profita, ako je referentna kamatna stopa (stopa koju vaša banka odobrava za uloge na deset godina) 8%. P0 = 3.600 din/$ i = 8% n = 10 god PVn = ?

SADAŠNJA VREDNOST NOVCA (obračun po prostoj kamati) Zadatak - odgovor: Prema planu poslovanja vaša kompanija u 10. godini poslovanja očekuje profit od 1.800 din/$. Kolika je sadašnja vrednost ovog profita, ako je referentna kamatna stopa (stopa koju vaša banka odobrava za uloge na deset godina. PVn = 3.600/[1 + (0,08*10)] = 3.600/1,80 = 2.000 din/$

SLOŽENA KAMATA Kamata plaćena (zarađena) po osnovu ranije zarađene kamate, kao i pozajmljenog (datog u zajam) iznosa glavnice

FV po jednostavnoj kamati SLOŽENA KAMATA Kamata koja se obračunava i plaća na glavnicu uvećanu za prethodno obračunate kamate - ukamaćenje glavnica + kamata na kamatu Primer: Buduća vrednost 1 dinara ($) u različitim vremenskim razdobljima pri godišnjoj kamati od 8% (glavnica=1 din; i=8%) Godina FV po jednostavnoj kamati FV po složenoj kamati 2 1,16 1,17 20 2,60 4,60 200 17,00 ?????

FV po jednostavnoj kamati SLOŽENA KAMATA Primer: Godina FV po jednostavnoj kamati FV po složenoj kamati 2 1,16 1,17 20 2,60 4,60 200 17,00 4.838.949,59

BUDUĆA VREDNOST NOVCA (grafički prikaz složene kamate) Pretpostavimo da ste uložili $1,000 po složenoj kamatnoj stopi od 7% na 2 godine. 0 1 2 7% 7% $1,000 FV2

BUDUĆA VREDNOST NOVCA (obračun po složenoj kamati) FV1 = P0 (1+i)1 = 1,000 din/$ (1.07) = 1,070 din/$ Složena kamata Nakon prve godine, zaradili ste 70 din/$ kamate na vaših 1,000 din/$ uloga. Ovo je isti iznos kamate koji biste zaradili ako biste uložili novac po prostoj ikamati.

BUDUĆA VREDNOST NOVCA (obračun po složenoj kamati) FV1 = P0 (1+i)1 = 1,000 din/$ (1.07) = 1,070 din/$ FV2 = FV1 (1+i)1 = 1,070 din/$ (1.07) = 1,144.9 = P0 (1+i)(1+i) = 1,000 din/$ (1.07)(1.07) = P0 (1+i)2 = 1,000 din/$ (1.07)2 = 1,000 din/$ (1.1449) = 1,144.9 din/$ U drugoj godine ste zaradili DODATNIH 4.90 din/$ po osnovu obračuna kamate na kamatu

Buduća vrednost uloga od 1,000 din/$ ZAŠTO SLOŽENA KAMATA? Buduća vrednost uloga od 1,000 din/$ 10% proste kamate 7% složene kamate Buduća vrednost Future Value (U.S. Dollars) 10% složene kamate 1. god. 10. god. 20. god. 30. god.

BUDUĆA VREDNOST NOVCA (obračun po složenoj kamati) Buduća vrednost depozita na kraju n perioda godina uz kamatu i izračunava se po sledećoj formuli: FVn = P0 * (1+i) * (1+i) *... (1+i) FVn = P0 * (1+i)n ili FVn = P0 * FVIFin gde je FVIFi,n = (1+i)n – kamatni faktor za buduću vrednost po kamatnoj stopi i u periodu n)

Tabela za obračun buduće vrednosti - Tabela I FVIFi,n se nalazi u Tabeli I na kraju knjige

Tabela za obračun buduće vrednosti - Tabela I U pređašnjem primeru (ulog od $1,000, pri složenoj kamatnoj stopi od 7% oročen na 2 godine) buduća vrednost se može obračunati i na sledeći način: FV2 = 1,000 din/$ (FVIF7%,2) = $1,000 din/$ (1.145) = $1,145/din/$ [Due to Rounding] zaokruženo

BUDUĆA VREDNOST NOVCA (obračun po složenoj kamati) Zadatak - pitanje: Uložili ste iznos od 100 din/$ u banku i oročili ga na 3 godine po kamatnoj stopi od 8%. Koliko će vredeti vaš ulog po isteku perioda oročavanja? P0 = 100 din/$ i = 8% n = 3 godine

BUDUĆA VREDNOST NOVCA (obračun po složenoj kamati) Zadatak - odgovor: FVn = P0 * (1+i) * (1+i) *... (1+i) =FVn = P0 * (1+i)n FV3 = 100*(1+0,08)*(1+0,08)*(1+0,08) FV3 = 100*(1+0,08)3 FV3 = 100*(1,259712) = 125,97 din/$ ili FV3 = P0 * FVIFin = 100 * (1,260) = 126,0 din/$

BUDUĆA VREDNOST NOVCA (obračun po složenoj kamati) Buduća vrednost 100 din uz složenu godišnju kamatu od 5%, 10% i 15%

BUDUĆA VREDNOST NOVCA (obračun po složenoj kamati) Zadatak - pitanje: Koliko će vaš štedni ulog od 10,000 din/$ uložen pod uslovom godišnjeg obračuna složene kamatne stope od 10% za period od 5 godina vredeti na kraju perioda? 0 1 2 3 4 5 10% 10% 10% 10% 10% 10,000 din/$ FV5

BUDUĆA VREDNOST NOVCA (obračun po složenoj kamati) Zadatak - odgovor: Obračun baziran na opštoj formuli: FVn = P0 (1+i) FV5 = 10,000 din/$ (1+ 0.10)5 = 16,105.10 din/$ Obračun baziran na Tabeli I: FV5 = $10,000 (FVIF10%, 5) = $10,000 (1.611) = $16,110 [Due to Rounding] zaokruženo

SADAŠNJA VREDNOST NOVCA (GRAFIČKI PRIKAZ) Zamislite da će vam biti potrebno 1,000 dn/$ za 2 godine. Koliki ulog treba da stavite u banku danas po kamatnoj (diskontnoj stopi) od 7% godišnje računato prema složenoj kamati. 0 1 2 7% $1,000 PV0 PV1

DISKONTNA STOPA DISKONTNA STOPA (stopa kapitalizacije): stopa obrnuta složenoj stopi ukamaćenja; koristi se za pretvaranje budućih u sadašnju vrednost FV = P0(1+i)n P0 = FV / (1+i)n Diskontna stopa ili diskontni kamatni faktor PV = P0= FVn/(1+i)n PV0 = FVn[1/(1+i)n], tj. ako je PVIFi,n = [1/(1+i)n] onda je: PV0 = FVn * PVIFi,n

SADAŠNJA VREDNOST NOVCA (obračun prema opštoj formuli) Sadašnja vrednost okamaćenog iznosa od 1,000 po stopi od 7% na perioda od 2 godine, iznosi: PV0 = FV2 / (1+i)2 = 1,000 din/$ / (1.07)2 = = $873.44 din/$ 0 1 2 7% 7% $1,000 PV0

SADAŠNJA VREDNOST NOVCA (obračun pomoću tabele kamatnih faktora – Tabela II) PV2 = 1,000 din/$ (PVIF7%,2) = 1,000 din/$ (.873) = 873 din/$ [Due to Rounding] zaokruženo

SADAŠNJA VREDNOST NOVCA (obračun po složenoj kamati) Zadatak - pitanje: Koliko danas vredi 2,000 dinara (ili dolara) koje ćemo dobiti za 10 godina, pri važećoj kamatnoj stopi od 8% godišnje?

SADAŠNJA VREDNOST NOVCA (obračun po složenoj kamati) Zadatak - odgovor: Koliko sada vredi 2,000 dinara (ili dolara) koje ćemo dobiti za 10 godina sa kamatnom stopom od 8% godišnje? PVIF 8,10 = 1/(1+0,08)10 = 0,463 2000 * 0,463=926,39 din/$

SADAŠNJA VREDNOST NOVCA (obračun po složenoj kamati) Zadatak – pitanje: Pre 50 godina investitor je uložio 150 din/$ u kupovinu 1 ha zemlje. Istovremeno, investitor je imao opciju da uloži isti novac u banku po 5% godišnje. Ako danas 1 h iste zemlje vredi 3,168 din/$, šta mislite da li je ovaj investitor doneo dobru odluku?

SADAŠNJA VREDNOST NOVCA (obračun po složenoj kamati) Zadatak - odgovor: Pre 50 godina investitor je uložio 150 din/$ u kupovinu 1ha zemlje. Istovremeno, investitor je imao opciju da uloži isti novac u banku po 5% godišnje. Ako danas 1 h iste zemlje vredi 3,168 din/$, šta mislite da li je ovaj investitor doneo dobru odluku? Obračun PV pomoću kamatnog faktora: PV = FVn/PVFI5%,50 = 3,168 / 0,087 = 275,6 din/$ Obračun FV pomoću kamatnog faktora: FVn = PV *(1+i)n FV50 = PV0 * FVFI5%,50 = 150*11,467 = 1,720.1 din/$

100 dinara novčanog toka sa kamatom 5%, 10% ili 15% SADAŠNJA VREDNOST 100 dinara novčanog toka sa kamatom 5%, 10% ili 15%

“PRAVILO 72” Za koliko godina n će se udvostručiti glavnica po kamati i? 72/i = n Po kojoj kamatnoj stopi i će se udvostručiti glavnica za n godina? 72/n = i

“PRAVILO 72” Zadatak - pitanje Trenutno raspolažete sa 25.000 din. Da kupite kompjuter potrebno vam je 50.000 din. Na koji period bi trebalo da oročite raspoloživi novac da biste ga udvostručili uz kamatnu stopu od 8%? Po kojoj kamatnoj stope bi morali da oročite svojih 25,000 din. da biste ih udvostručili za 3 godine?

“PRAVILO 72” Zadatak - odgovor 72/8 = 9 godina 72/3 = 24% Trenutno raspolažete sa 25.000 din. Da kupite kompjuter potrebno vam je 50.000 din. Na koji period bi trebalo da oročite raspoloživi novac da biste ga udvostručili uz kamatnu stopu od 8%? 72/8 = 9 godina Po kojoj kamatnoj stope bi morali da oročite svojih 25,000 din. da biste ih udvostručili za 3 godine? 72/3 = 24%

NEPOZNATA KAMATNA STOPA Ako znamo sadašnju, buduću vrednost i period ukamaćivanja, na osnovu jednačine: FVn = P0 * FVIFin možemo da izračunamo kamatnu stopu: FVIFin = FVn / P0 = (1+i)n (1+i) = FVIFin1/n i = FVIFin1/n -1

NEPOZNATA KAMATNA STOPA Zadatak - pitanje Po kojoj kojoj kamatnoj stopi treba da uložite 1,000 din/$ da bi nakon 8 godina dobili 3,000 din/$?

NEPOZNATA KAMATNA STOPA Zadatak - odgovor Po kojoj kojoj kamatnoj stopi treba da uložite 1,000 din/$ da bi nakon 8 godina dobili 3,000 din/$? FVIFin=FVn / P0 = 3000/1000 = 3 na osnovu Tabele kamatnih faktora i ~ 15% ili na osnovu opšte formule FVIFin=(1+i)n = 3 (1+i) = 31/8 =1,1472 tj. i = 0,1472 = 14,72%

NEPOZNAT VREMENSKI PERIOD OTPLATE Ako znamo sadašnju, buduću vrednost i kamatnu stopu, iz jednačine FVn = P0 * FVIFi,n možemo da izračunamo period ukamaćivanja: FVIFin = FVn / P0 = (1+i)n = (1+i)n = FVIFin n[ln (1+i)] = lnFVIFin n= lnFVIFin/(ln (1+i)

NEPOZNAT VREMENSKI PERIOD OTPLATE Primer Na koji period treba da uložite 1,000 din/$ da bi na njegovom kraju dobili 1,900 din, ako je kamatna stopa 10%? ako je FVIFin = FVn / P0 = 1900/1000 = 1,9 onda je n ~ 7 g. ili ako je (1+0,1)n = 1,9 onda je n = ln1,9/ln 1,1 = 6,73

ANUITET Anuitet predstavlja niz jednakih plaćanja (ili primanja) koji se dešavaju periodično (tokom jednakih perioda) Običan anuitet: plaćanja koja se dešavaju na kraju svakog perioda. Dospeli anuitet: plaćanja koja se dešavaju na početku svakog perioda.

PRIMERI ANUITETA Otplate studentskih kredita Otplata kredita za automobil Isplate premije osiguranja Otplata hipotekarnog kredita Isplate penzije

Danas OBIČAN ANUITET 0 1 2 3 $100 $100 $100 Jednaki novčani tok Kraj perioda 1 Kraj perioda 2 Kraj perioda 3 0 1 2 3 $100 $100 $100 Danas Jednaki novčani tok

Danas DOSPELI ANUITET 0 1 2 3 $100 $100 $100 Jednaki novčani tok Početak perioda 2 Početak perioda 3 Početak perioda 1 0 1 2 3 $100 $100 $100 Jednaki novčani tok Danas

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST – OBIČAN ANUITET FVAn=R(1+i)n-1+R(1+i)n-2+...+R(1+i)1+ R(1+i)0 ili FVAn= R [FVIFi,n-1+ FVIFi,n-2+... FVIFi,1+ FVIFi,0] = FVA0 = R(FVIFAi,n) Legenda FVAn - buduća složena vrednost anuiteta u periodu n R – periodični prilivi ili odlivi (isplate/uplate) n – broj anuiteta FVIFAi,n – kamatni faktor izračunavanje budućih vrednosti anuiteta uz kamatnu stopu i, u vremenskom periodu n

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST – OBIČAN ANUITET Zadatak - pitanje Ako svoja godišnja primanja od 1,000 din/$ deponujete 3 uzastopne godine uz složenu kamatnu stopu od 7%, koliko ćete imato novca na kraju perioda? R = 1.000 din/$ I = 7% N = 3 FVAn = ?

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST – OBIČAN ANUITET Zadatak - odgovor Ako svoja godišnja primanja od 1,000 din/$ deponujete 3 uzastopne godine uz složenu kamatnu stopu od 7%, koliko ćete imato novca na kraju perioda? FVAn=R(1+i)n-1+R(1+i)n-2+...+R(1+i)1+ R(1+i)0 FVA3 = 1,000(1.07)2 + 1,000(1.07)1 + 1,000(1.07)0 = $1,145 + $1,070 + $1,000 = $3,215

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST – OBIČAN ANUITET Novčani tok koji se dešava na kraju perioda 0 1 2 3 4 7% $1,000 $1,000 $1,000 $1,070 $1,145 $3,215 = FVA3

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST – OBIČAN ANUITET (izračunata uz pomoć kamatnih faktora Tabele III) FVAn = R (FVIFAi%,n) FVA3 = 1,000 (FVIFA7%,3) = 1,000 (3.215) = 3,215 din/$

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST – OBIČAN ANUITET Zadatak - pitanje Koliko ćete imati na bankovnom računu ako u periodu od 3 godine svake godine uplaćujete po 1,000 din uz kamatu od 8%?

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST – OBIČAN ANUITET Zadatak – odgovor Koliko ćete imati na bankovnom računu ako u periodu od 3 godine svake godine uplaćujete po 1,000 din uz kamatu od 8%? FVAn= R(FVIFAi,n) = 1.000 * (3,246) = 3.246

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST – OBIČAN ANUITET

FVAn= R (FVIFAi,n) FVIFAi,n = FVAn / R BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST - OBIČNI ANUITET: nepoznata kamatna (diskontna) stopa Ako znamo sadašnju, buduću vrednost i period ukamaćivanja iz jednačine PVAn = R (PVIFAi,n) možemo da izračunamo kamatnu stopu: FVAn= R (FVIFAi,n) FVIFAi,n = FVAn / R

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST - OBIČNI ANUITET: nepoznata kamatna (diskontna) stopa Zadatak - pitanje Po kojoj kamatnoj stopi treba da uložate svake od narednih 8 godina po 1,000 din da bi nakon ovog perioda imali 9,500 din? FVAn= 9,500 din/$ R = 1,000 din/$ i = ?

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST - OBIČNI ANUITET: nepoznata kamatna (diskontna) stopa Zadatak - odgovor Po kojoj kamatnoj stopi treba da uložate svake od narednih 8 godina po 1,000 din da bi nakon dobili 9,500 din? FVA8 = R*FVIFAi,8 9.500=1.000*FVIFAi,8 FVIFAi,8=9.500/1.000 = 9,5 prema tabeli 9,549 5%

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST - OBIČNI ANUITET: nepoznata periodična uplata/isplata Ako znamo sadašnju, buduću vrednost i kamatnu stopu, iz jednačine FVn = R0 * FVIFi,n možemo da izračunamo iznos godišnje uplate: FVAn = R0 * FVIFi,n R0 = FVAn / FVIFi,n

Zadatak - pitanje i = 5% R0 = ? FVAn = 10.000 din/$ BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST - OBIČNI ANUITET: nepoznata periodična uplata/isplata Zadatak - pitanje Koliko treba da ulažemo svake godine na štedni račun, uz kamatu od 5% da bi na kraju 8 godine imali 10.000 din/$? FVAn = 10.000 din/$ i = 5% R0 = ?

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST - OBIČNI ANUITET: nepoznata periodična uplata/isplata Zadatak - odgovor Koliko treba da ulažemo svake godine na štedni račun, uz kamatu od 5% da bi na kraju 8 godine imali 10.000 din/$? FVA8 = R * FVIFA5%,8 10.000 din/$ = R (9,549) R = 10.000 / 9,549 = 1,047.23 din/$

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST - DOSPELI ANUITETA Novčani tok koji se dešava na početku perioda 0 1 2 3 n-1 n . . . i% R R R R R FVADn = R(1+i)n + R(1+i)n-1 + ... + R(1+i)2 + R(1+i)1 = FVAn (1+i) FVADn

BUDUĆA SLOŽENA VREDNOST - DOSPELI ANUITETA Novčani tok koji se dešava na početku perioda 0 1 2 3 4 7% $1,000 $1,000 $1,000 $1,070 $1,145 $1,225 FVAD3 = $1,000(1.07)3 + $1,000(1.07)2 + $1,000(1.07)1 = $1,225 + $1,145 + $1,070 = $3,440 $3,440 = FVAD3

SADAŠNJA SLOŽENA VREDNOST – OBIČNI ANUITETA Novčani tok koji se dešava na kraju perioda 0 1 2 n n+1 i% . . . R R R R = Periodični novčani tok PVAn PVAn = R/(1+i)1 + R/(1+i)2 + ... + R/(1+i)n

SADAŠNJA SLOŽENA VREDNOST – OBIČNI ANUITETA Novčani tok koji se dešava na kraju perioda 0 1 2 3 4 7% 1,000 1,000 1,000 934.58 873.44 816.30 2,624.32 = PVA3 PVA3 = 1,000/(1.07)1 + 1,000/(1.07)2 + 1,000/(1.07)3 = 934.58 + 873.44 + 816.30 = 2,624.32

SADAŠNJA SLOŽENA VREDNOST – OBIČNI ANUITETA PVAn=R [Σ 1/(1+n)n] = R {[1-(1/(1+i)n)]/i } PVAn= R (PVIFAi,n) Legenda PVAn –sadašnja vrednost aniuteta za period n PVIFAi,n – kamatni (diskontni) faktor za računanje sadašnje vrednosti uz kamatnu stopu i %, za vremenski period n

PVAn = R (PVIFAi%,n) PVA3 = 1,000 (PVIFA7%,3) = 1,000 (2.624) = $2,624 SADAŠNJA SLOŽENA VREDNOST – OBIČNI ANUITETA (izračunata uz pomoć kamatnih faktora Tabele IV) PVAn = R (PVIFAi%,n) PVA3 = 1,000 (PVIFA7%,3) = 1,000 (2.624) = $2,624

SADAŠNJA SLOŽENA VREDNOST – OBIČNI ANUITETA Zadatak - pitanje Koliko novca treba da uložite u banku danas pri kamatnoj stopi od 8% da bi ste naredne 3 godine mogli da povlačili po 1.000 din/$

SADAŠNJA SLOŽENA VREDNOST – OBIČNI ANUITETA Zadatak - odgovor Koliko novca treba da uložite u banku danas pri kamatnoj stopi od 8% da bi ste naredne 3 godine mogli da povlačili po 1.000 din PVA3= R (PVIFA8%,3) = 1.000 * 2,577 = 2.577 din

SADAŠNJA SLOŽENA VREDNOST – OBIČNI ANUITETA

DOŽIVOTNA RENTA Obični anuitet čije isplate ili primici nikad ne prestaju PVAœ = R[(1-(1/(1+i)œ)/i] 1/(1+i)œ = 0 PVAœ = R[(1-0)/i] PVAœ = R / i

PVAœ = ? Zadatak - pitanje: DOŽIVOTNA RENTA Zadatak - pitanje: Kolika je sadašnja vrednost doživotne rente od 1.000 din/$ uz godišnju kamatu od 8%: I = 8% R = 1.000 din/$ PVAœ = ?

PVAœ = R / i PVAœ = 1.000 / 0,08 PVAœ = 12.500 din/$ DOŽIVOTNA RENTA Zadatak - odgovor: Kolika je sadašnja vrednost doživotne rente od 1.000 din/$ uz godišnju kamatu od 8%: PVAœ = R / i PVAœ = 1.000 / 0,08 PVAœ = 12.500 din/$

SADAŠNJA VREDNOST MEŠOVITIH (RAZLIČITIH) ANUITETA Anuiteti po modelu mešovitih tokova novca podrazumevaju da se pojedini iznosi isplata (uplata) razlikuju od perioda do perioda

MEŠOVITI TOKOVI NOVCA I ANUITETA Primer Kolika je sadašnja vrednost anuiteta prikazanog na slici u perodu od n=5 godina pri kamatnoj stopi od i=5%

MEŠOVITI TOKOVI NOVCA I ANUITETA - moguća rešenja 1. Rešenje “pozicija po pozicija” diskontovanjem svake pozicije unazad do t=0. 2. Rešenje “grupa po grupa” tako što se novčani tok najpre podeli u grupe, a zatim diskontuju grupa po grupa unazad do t=0.

MEŠOVITI TOKOVI NOVCA I ANUITETA - moguća rešenja Rešenje 1 Kolika je sadašnja vrednost anuiteta iz donje slike u vremenskom horizontu godina n=5 g. i=5% PV0 = FV1 (PVIF5%,1) = 5.000 din * 0,952 = 4.760 din PV0 = FV2 (PVIF5%,2) = 5.000 din * 0,907 = 4.535 din PV0 = FV3 (PVIF5%,3) = 6.000 din * 0,864 = 5.184 din PV0 = FV4 (PVIF5%,4) = 6.000 din * 0,823 = 4.938 din PV0 = FV5 (PVIF5%,5) = 1.000 din * 0,784 = 784 din ∑ 20.201 din

MEŠOVITI TOKOVI NOVCA I ANUITETA - moguća rešenja Rešenje 1

MEŠOVITI TOKOVI NOVCA I ANUITETA - moguća rešenja Rešenje 2 Kolika je sadašnja vrednost anuiteta iz donje slike u vremenskom horizontu godina n=5 g. i=5% PV0 = FV1 (PVIF5%,4) = 6.000 din * 3,546 = 21.276 din PV0 = FV2 (PVIF5%,2) = 1.000 din * 1,859 = (1,859 din) PV0 = FV3 (PVIF5%,5) = 1.000 din * 0,784 = 784 din ∑ 20.201 din

POLUGODIŠNJI I OSTALI PERIODI SLOŽENOG UKAMAĆIVANJA - buduća vrednost FVn=PV0 [1+ ( i/m)]mn FVn – buduća vrednost PV0 – iznos glavnice (sadašnja vrednost) n – godina m – broj puta isplata kamate godišnje

POLUGODIŠNJI I OSTALI PERIODI SLOŽENOG UKAMAĆIVANJA - buduća vrednost Zadatak - pitanje Ako uložite 100 din na godinu dana, uz kvartalni obračun složene kamate, koliko ćete imati na kraju godine? PV0 = 100 din; i = 8% n = 1 m = 4 FVn = ?

POLUGODIŠNJI I OSTALI PERIODI SLOŽENOG UKAMAĆIVANJA - buduća vrednost Zadatak - odgovor Ako uložite 100 din na godinu dana, uz kvartalni obračun složene kamate, koliko ćete imati na kraju godine? PV0 = 100 din; i = 8% kamata se isplaćuje 4 puta godišnje odnosna tromesečno FVn=PV0 [1+ ( i/m)]mn = PV0(1+[0,08/4])4*1 FVn = 100(1+0,02)4 FVn = 100(1,0824) FVn = 108,24 din

POLUGODIŠNJI I OSTALI PERIODI SLOŽENOG UKAMAĆIVANJA - sadašnja vrednost Sadašnja vrednost budućeg novčanog toka koji će biti primljen na kraju godine n i sa m brojem razdoblja ukamaćivanja sa i diskontnom stopom PV0 = FVn / (1+[i/m])mn FVn – buduća vrednost PV0 – sadašnja vrednost I = kamatna (diskontna) stopa n – godine m – broj puta isplata kamate godišnje

POLUGODIŠNJI I OSTALI PERIODI SLOŽENOG UKAMAĆIVANJA - sadašnja vrednost Zadatak - pitanje Koliki iznos treba da oročite po kamatnoj stopi od 8% uz tromesečno ukamaćivanje, da bi na kraju perioda dobili 100 din/$? FVn =100 din i = 8% diskontna stopa n = 3 godine m = 4

POLUGODIŠNJI I OSTALI PERIODI SLOŽENOG UKAMAĆIVANJA - sadašnja vrednost Zadatak - odgovor Koliki iznos treba da oročite po kamatnoj stopi od 8% uz tromesečno ukamaćivanje, da bi na kraju perioda dobili 100 din/$? PV0 = 100(1+[0,08/4])3*4 PV0 = 100(1+0,02)12 PV0 = 78,85 din

EFEKTIVNA KAMATNA STOPA Stvarna zarađena kamata nakon prilagođavanja nominalne kamatne stope za faktore kao što je broj razdoblja ukamaćivanja u 1 godini (1+efek. god. kam. stopa)=(1+[i/m])m1 efgi = (1+[i/m])m-1 Primer nominalna kamatna stopa je i=8% godišnje tromesečno ukamaćivanje za ulaganje do 1 godine Efektivna kamata je (1+[0,08/4])4-1=(1+0,02)4-1=0,08243 = 8,2%

PLAN AMORTIZACIJE KREDITA Otplata zajma u jednakim ratama koje sadrže glavnicu i kamatu: n PVAi,n = R[Σt=11/(1+0,12)t] = R (PVIFAi,n) R = PVAi,n / PVIFAi,n

PLAN AMORTIZACIJE KREDITA Zadatak - pitanje Koliki je iznos godišnje rate za kredit od 22.000 € na period od 6 godina uz kamatu od i = 12% godišnje

PLAN AMORTIZACIJE KREDITA Zadatak - odgovor Koliki je iznos godišnje rate za kredit od 22.000 € na period od 6 godina uz kamatu od i = 12% godišnje 22.000 = R[Σ1/(1+0,12)t] 22.000 = R (PVIFA12%,6) 22.000=R(4,111) R=22.000/4,111=5.351 Σdug=6*5.351=32.106 € Napomena: diskontni faktor za 6 godina uz 12% kamate je 4,111 (tablice IV)