EKONOMSKE FUNKCIJE

Funkcija tražnje Posmatrajmo proizvod x. Analiziramo tražnju tog proizvoda i primjećujemo da na nju utiču: - cijena - broj potrošača - kupovna moć - promocija - kvalitet - konkurencija

Potrebni uslovi postojanja funkcije tražnje su: p>0, x>0, x’<0 gdje je p cijena proizvoda x Primjer1. Funkcija x = -2p + 3, je funkcija tražnje na intervalu jer su ispunjeni sledeći uslovi: p > 0 x > 0 akko -2p + 3 > 0 tj. za iz 1) i 2) slijedi da p ∈ 3) x’= -2 < 0

Primjer2. Funkcija x = -p2 + 900, je funkcija tražnje na intervalu jer su ispunjeni sledeći uslovi: p > 0 x > 0 ⇔ -p2 + 900 > 0 tj. za p ∈ (-30, 30) x’= -2p -2p < 0 ⇔ p > 0 iz 1), 2) i 3) slijedi da p ∈ (0, 30)

Funkcija ponude Funkciju ponude možemo posmatrati kao funkciju cijene i izraziti kao y = g(p), p > 0, cijena; y > 0, ponuda proizvoda x. Potrebni uslovi postojanja funkcije ponude su: p > 0, y > 0, y’ > 0 Primjer3. Funkcija y = 3p + 2 je funkcija ponude na intervalu jer su ispunjeni sledeći uslovi: p > 0 y > 0 akko 3p + 2 > 0 tj. za p > iz 1) i 2) slijedi da p∈ 3) y’ = 3 > 0

Primjer4. Funkcija x = p2 – 9 je funkcija ponude na intervalu jer su ispunjeni sledeći uslovi: p > 0 y > 0 ⇔ p2 – 9 > 0 tj. za p ∈ y’ = 2p 2p > 0 ⇔ p > 0 iz 1), 2) i 3) slijedi da p ∈

Modeli tržišta Konjukciju funkcija tražnje i ponude smatramo modelom tržišta x = f (p) ∧ y = g (p) Cijenu za koju se postiže ravnoteža na tržištu možemo naći analitički Primjer5. Date su funkcije tražnje i ponude x = -p + 4 ∧ y = p2 +2 Analitičku ravnotežu cijene dobijamo kao rješenje jednačine -p + 4 = p2 +2 ⇔ p2 + p – 2 = 0 ⇔ p1 = 1 ili p2 = -2 ∉ Zaključak je da je tražena cijena p = 1

Funkcija troškova Funkciju ukupnih troškova možemo analizirati kao funkciju obima proizvodnje proizvoda x i označavamo je sa C = F (x). Prosječne troškove po jedinici proizvoda x obilježavamo sa Funkcija graničnih troškova C' je prvi izvod funkcije ukupnih troškova. Primjer6. Data je funkcija ukupnih troškova C (x) = x2 + 3x, Funkcija prosječnih troškova je Funkcija graničnih troškova je C' = (x2 + 3x)' = 2x + 3

Primjer7. Data je funkcija ukupnih troškova C (x) = x3 – 65x2 + 1600 x Primjer7. Data je funkcija ukupnih troškova C (x) = x3 – 65x2 + 1600 x. Odrediti a) funkciju prosječnih troškova b) funkciju graničnih troškova. a) b) C' =

Primjer8. Data je funkcija graničnih troškova C' Odrediti funkciju ukupnih troškova iz uslova C (0) =500. C = C = Iz uslova C (0) = 500 ⇒ A = 500 Funkcija ukupnih troškova je C (x) =

Funkcija prihoda Funkcija ukupnih prihoda se može predstaviti kao proizvod cijene p i količine prodate robe x i označavamo sa P = p ∙ x. Potrebni uslovi za egzistenciju funkcije su p > 0 i x > 0. Funkcija prosječnih prihoda je Funkcija graničnih prihoda P' je prvi izvod funkcije ukupnih prihoda.

Primjer9. Ako je tražnja za proizvodom x: x = -p + 100, naći maksimalan prihod. P = x ∙ p = (-p + 100) ∙ p = - p2 + 100p P' = -2p + 100 P' = 0 ⇔ -2p + 100 = 0 ⇔ p = 50 P'' = -2 < 0 Pmax = - 502 + 100∙50 Pmax = 2500 je maksimalan prihod.

Primjer10. Ako je tražnja za proizvodom x: x = -3p + 30000, naći maksimalnu cijenu i tražnju za koju će ukupan prihod biti maksimalan. x = -3p + 30000 ⇒ p = P = x ∙ p = x ∙ P' = P' = 0 ⇔ x = 15000 p = 10000-5000 = 5000 Pmax = x ∙ p Pmax = 15000 ∙ 5000 Pmax =75 000 000

Funkcija dobiti Funkcija dobiti se može definisati kao razlika funkcija prihoda i troškova D (x) = P (x) – C (x) Za D > 0 proizvodnja je rentabilna Za D = 0 proizvodnja je na granici rentabilnosti Za D < 0 proizvodnja je nerentabilna Primjer 11. Data je funkcija tražnje p = 9 – 1,5x i funkcija ukupnih troškova C = 6 + 1,5x. Odrediti a) funkciju ukupnih prihoda b) intervale rentabilne, nerentabilne proizvdnje. Funkcija ukupnih prihoda je P (x) = p ∙ x = (9 – 1,5x ) ∙ x ⇒ P (x) = 9x – 1,5 x2

b) D = P – C D = -1,5 x2 + 7,5x – 6 D = 0 ⇔ x = 1 ili x = 4 proizvodanja je na granici rentabilnosti D < 0 za x ∈ (-∞, 1)∪(4, +∞) proizvodnja je nerentabilna D > 0 za x ∈ (1, 4) proizvodnja je rentabilna D‘ = -3x + 7,5 D’ = 0 ⇔ x = 2,5 za ovu vrijednost proizvodnja je najrentabilnija. Dmax(2,5) = 3,375