ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО

Презентација на тему: "ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО"— Транскрипт презентације:

1 ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО
ВИСОКА ПОСЛОВНА ШКОЛА СТРУКОВНИХ СТУДИЈА ВАЉЕВО ШКОЛСКА 2013/14. ГОДИНА ПРОЛЕЋНИ СЕМЕСТАР НАСТАВНИ ПРЕДМЕТ: КВАНТИТАТИВНЕ МЕТОДЕ ТЕМА 2. ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА ПРВО ПРЕДАВАЊЕ ВАЉЕВО,

2 НАСТАВНА ТЕМА 2. ПРВО ПРЕДАВАЊЕ
ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ. ПРИМЕНА ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ. МОНОТОНОСТ И ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈЕ

3 1.1. ПРИРАШТАЈ ФУНКЦИЈЕ у Прираштај аргумента (у ознаци х) је вредност за коју се повећа аргумент (независно променљива х). Прираштај функције (у ознаци у) је вредност за коју се промени вредност функције док се аргумент повећа за х. y = f(x) f(а+Δx) y y f(a) Δx a а+Δx Δx х

4 1.2. ПОЈАМ ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ Ако постоји (коначна) гранична вредност
онда кажемо да је функција f диференцијабилна у тачки хо, а добијену граничну вредност називао изводом функције f у тачки хо и означавамо

5 1.2. ПОЈАМ ИЗВОДА ФУНКЦИЈЕ Пример 1: Одредити по дефиницији извод следећих функција:

6 1.3. ТАБЛИЧНИ ИЗВОДИ ФУНКЦИЈА
f (x) f ’(x) 1. C 2. xn nxn-1 3. ln x 1/x 4. ex 5. sin x cos x 6. - sin x

7 1.6. ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦИРАЊА
Ако су f (х) и g(х) диференцијабилне функције у тачки х и ако су f ’(х) и g’(х) изводи датих функција, онда је:

8 1.6. ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦИРАЊА
Пример 2: Одредити изводе следећих функција:

9 1.7. ИЗВОД СЛОЖЕНЕ ФУНКЦИЈЕ
1.7. ИЗВОД СЛОЖЕНЕ ФУНКЦИЈЕ Ако је у сложена функција, тј. у = f(g(x)), тада је y’x = f ’g · g’x . Пример 3: Одредити изводе следећих функција:

10 1.8. ДОМАЋИ ЗАДАТАК Одредити изводе следећих функција:

11 1.8. ДОМАЋИ ЗАДАТАК Одредити изводе следећих функција:

12 1.9. ПОЈАМ ДИФЕРЕНЦИЈАЛА ФУНКЦИЈЕ
Ако је функција у = f(x) диференцијабилна у тачки а, онда се линерана функција f ’(а)·(х – а) = f ’(a)x назива диференцијалом функције f(x) у тачки а и обележава dy = df(x) = f ’(a)x, тј. dy = df(x) = f ’(a)dx, или

13 1.10. ГЕОМЕТРИЈСКО ТУМАЧЕЊЕ ИЗВОДА И ДИФЕРЕНЦИЈАЛА
ГЕОМЕТРИЈСКО ТУМАЧЕЊЕ ИЗВОДА И ДИФЕРЕНЦИЈАЛА у y = f(x) f(а+Δx) y y dy f(a) Δx a а+Δx Δx х

14 Пример 4: Одредити диференцијал следећих функција:

15 1.11. ДРУГИ ИЗВОД ФУНКЦИЈЕ Нека је дата функција у = f(x) која има извод y’= f ’(x). Извод дате функције је такође функција y’= f ’(x). Извод дате функције може имати свој извод који се назива други извод функције и симболички означава са Други извод функције се може написати и помоћу диференцијала функције другог реда, тј.

16 Пример 5: Одредити други извод следећих функција:

17 1.12. ИЗВОДИ ВИШЕГ РЕДА Ако се поступак ’’извођења’’ настави, тј. ако се израчуна извод другог извода функције у = f(x) која има први извод y’= f ’(x) и други извод y’’= f ’’(x), онда се добија трећи извод функције Изложени поступак се може наставити до добијања п – тог извода функције при чему је

18 Пример 6: Одредити трећи и четврти извод следећих функција:
Пример 7: Одредити п-ти извод следећих функција:

19 1.13. МОНОТОНОСТ ФУНКЦИЈЕ Нека је у = f(х) реална функција која на интервалу (а, b) има коначан или бесконачан први извод. Да би функција у = f(х) на интервалу (а, b) била * растућа довољно да у свакој тачки интервала (а, b) буде f `(х) >0 ; * опадајућа довољно да у свакој тачки интервала (а, b) буде f `(х) < 0 ; Пример 1: Функције у = 5х и у = х3 + 8 су монотоно растуће. Пример 2: Функције у = - 3х + 5 и у = 1/х су монотоно опадајуће.

20 1.14. ЕКСТРЕМНЕ ВРЕДНОСТИ ФУНКЦИЈА
Тачка х = а се назива стационарном тачком функције f (х) ако је f `(а) = 0. Потребан услов да функција f (х) у тачки а има локални екстремум (минимум или максимим) је да је f `(а) = 0. Тачка х = а је тачка локалног максимума функције f (х) ако је f `(а) = 0 и ако је функција f (х) лево од тачке а монотоно растућа, а десно од тачке а монотоно опдајућа. Тачка х = а је тачка локалног минимума функције f (х) ако је f `(а) = 0 и ако је функција f (х) лево од тачке а монотоно опадајућа, а десно од тачке а монотоно растућа.

21 Пример 8. Одредити монотоност и екстремне вредности функција:
а) у = 17 b) y = 4x c) y = -15x + 6 d) y = x2 - 5 e) y = - x2 + 6x - 8 f) y = x3 – 3х

22 ПРИМЕНА Пример 9. Добит фабрике аутомобила моделирана је функцијом у = – 0,8х х - 100, где је х број произведених аутомобила (у хиљадама комада), а у добит у милионима динара. Када је добит највећа? Пример 10. Функција укупних трошкова фабрике хемијских оловки моделирана је функцијом у = ех(х – 4) + 84, где је х број произведених контејнера хемијских оловки, а у укупни трошкови у милионима динара. Када су укупни трошкови најмањи?