Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina

Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina
Teorija konstrukcija 2 V. prof. dr Ratko SALATIĆ Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina

STABILNOST KONSTRUKCIJA
Sadržaj poglavlja UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA STABILNOST ŠTAPA METOD POČETNIH PARAMETARA INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK METOD KONAČNIH ELEMENATA 4

INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK
Integro-diferencijalna jednačina štap promenljivog poprečnog preseka promenljiva aksijalna sila

Integro-diferencijalna jednačina

Integro-diferencne jednačine NUMERIČKA DISKRETIZACIJA

Integro-diferencne jednačine APROKSIMACIJA - PRVA Diferencijali se zamenjuju konačnim razlikama.

Integro-diferencne jednačine APROKSIMACIJA - DRUGA Podeljeno opterećenje se zamenjuje ekvivalentnim sistemom koncentrisanih sila. Koncentrisane sile određuju se iz uslova da su momenti savijanja u izabranim tačkama usled zadatog podeljenog opterećenja jednaki momentima usled koncentrisanih sila.

Integro-diferencne jednačine APROKSIMACIJA - TREĆA Integrali se zamenjuju sumama.

Integro-diferencne jednačine  BROJ JEDNAČINA n+1 – u svakoj izabranoj tački i=0,1,2, ... n 2 konturna uslova na svakom kraju štapa Integro-diferencne jednačine su algebarske jednačine. n+5 BROJ NEPOZNATIH n+1 – nepoznatih pomeranja u svakoj pomeranje u tačkama -1 i n+1 Nepoznate sile Mi i Vi n+5

Konturni uslovi SLOBODAN KRAJ

Konturni uslovi SLOBODNO OSLONJEN KRAJ

Konturni uslovi UKLJEŠTEN KRAJ

Problem stabilnosti  Dobija se homogen sistem linearnih algebarskih jednačina

STABILNOST KONSTRUKCIJA
Sadržaj poglavlja UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA STABILNOST ŠTAPA METOD POČETNIH PARAMETARA INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK METOD KONAČNIH ELEMENATA 5

METOD KONAČNIH ELEMENATA
Tradicionalne metode proračuna  Problem Teorije konstrukcija (problem mehanike deformabilnog tela) − Rešavanje graničnog (konturnog) problema mehanike kontinuuma. Diferencijalno mali element Domen Uslovi na konturi

Pretpostavke proračuna tradicionalnih metoda Uspostavljaju se osnovne relacije između geometrijskih i fizičkih veličina na elementu diferencijalno malih dimenzija. Usvaja se pretpostavka neprekidnosti funkcija. Zavisnosti između srednjih vrednosti ovih veličina diferencijalno malog elementa proširuju se na ceo domen. Dobijene jednačine su diferencijalne jednačine (obične ili parcijalne), odnosno integralne ili integro-diferencijalne jednačine.

Pretpostavke proračuna tradicionalnih metoda Utvrđuju se konturni (granični) i inicijalni (početni) uslovi. Dobijenom jednačinom i graničnim, odnosno inicijalnim uslovima, definisan je granični problem. Rešenja graničnog problema mogu biti tačna dobijena u zatvorenom obliku ili približna rešenja zasnovana na matematičkoj diskretizaciji jednačina graničnog problema. Približnim rešenjem problem se svodi na polje algebre, tj. rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.

Model, mreža MKE Nepoznate u čvoru Konačni element Čvor

Karakteristike Savremena metoda numeričke analize, metoda diskretne analize. Jednostavna matematička formulacija i matematički aparat za rešavanje graničnog problema. Osnov za razmatranje problema (umesto diferencijalno malog elementa) je deo domena konačnih dimenzija, poddomen, koji se naziva konačni element. Poddomen, konačni element, ima ista svojstva kao i domen, metoda je zasnovana na fizičkoj diskretizaciji problema. Funkcije pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim konačnim elementima su obične algebarske jednačine.

Karakteristike Domen sa beskonačno mnogo stepeni slobode (parametara) zamenjen je diskretnim modelom međusobno povezanih konačnih elemenata sa konačnim brojem stepeni slobode (parametara). Usvaja se pretpostavka da su konačni elementi povezani u konačnom broju tačaka, čvorovima modela. Potrebno je definisati izbor diskretnog modela i izbor nepoznatih (stepena slobode) koji mogu da opišu odgovarajući konturni problem. Uslov za primenu metode je bio razvoj računarske tehnike (mogućnost rešavanja velikih sistema jednačina).

Postupak Razmatrani domen (nosač) se deli na konačan broj poddomena (konačnih elemenata)  formiranje mreže konačnih elemenata. Izbor konačnog broja parametara (nepoznatih veličina) u čvorovima za opisivanje razmatranog problema. Izbor interpolacionih funkcija N za opisivanje stanja u svakom elementu pomoću usvojenih nepoznatih veličina u čvorovima konačnog elementa. Uvrđivanje parametara na konturi domena. Određivanje čvornog opterećenja. Formiranje matrice sistema i vektora slobodnih članova, odnosno uslovnih jednačina. Rešavanje sistema uslovnih (algebarskih) jednačina, određivanje nepoznatih parametara.

Interpolacione funkcije

Greške (aproksimacije) 1: Greška aproksimacije domena modelom 2: Greška aproksimacije konturnih uslova 3: Greška pri izboru interpolacionih funkcija

Primena MKE na linijske nosače

Matrica krutosti štapa

Elementi matrice krutosti štapa

Interpolacione funkcije štapa

Matrica krutosti štapa PRIBLIŽNO REŠENJE – GEOMETRIJSKA MATRICA KRUTOSTI Oblik ove matrice, koji se zasniva na rešenju diferencijalne jednačine linearne teorije štapa. Primenom rešenja teorije prvog reda traži se rešenje teorije drugog reda → rešenje je približno (aproksimativno).

Približno rešenje – Geometrijska matrica krutosti Varijacioni postupak se zasniva na stavu o stacionarnosti potencijalne energije nosača. (Potencijalna energija nosača ima minimum.)  Potencijalna energija nosača jednaka je zbiru unutrašnje energije (deformacionog rada) i potencijalu generalisanih sila u čvorovima nosača. Potencijal generalisanih sila jednak je negativnom radu generalisanih sila.

Približno rešenje – Geometrijska matrica krutosti

Približno rešenje – Geometrijska matrica krutosti Potencijal generalisanih sila Unutrašnja energija (deformacioni rad)

Približno rešenje – Geometrijska matrica krutosti Potencijalna energija

Približno rešenje – Geometrijska matrica krutosti

Matrica krutosti štapa

STABILNOST LINIJSKIH SISTEMA
Problem stabilnosti

Vektor ekvivalentmog čvornog opterećenja

P - Delta efekat Karakteristike Primena na ortogonalnim okvirima Geometrijska nelinearnosti razmatra se modifikovanjem linearne analize Uslovi ravnoteže postavljaju na nedeformisanom sistemu, vodeći računa P-Δ Linearizovan postupak,rešenje se dobija bez iteracija Pretpostavka poznatih vertikalnih sila, koje se ne menjaju tokom deformacije i relativno malom pomeranju u odnosu na visinu objekta

P - Delta efekat Matrica nije simetrična

P - Delta efekat Ukupno vertikalno opterećenja iznad čvora i Matrica je simetrična

P - Delta efekat ekvivalentni spreg horizontalnih sila veza između transverzalnih sila i pomeranja usled rotacije štapa (sa sprečenim rotacijama krajeva) Momenti inercije fiktivnih vertikalnih elemenata Ako se realnom statičkom sistemu dodaju fiktivni vertikalni elementi (sa negativnom krutošću) - problem se može rešiti i u okviru linearne analize.

Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina

Сличне презентације

Презентација на тему: "Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina"— Транскрипт презентације:

Сличне презентације

О пројекту

Фидбек

Уђи

Пријави се преко друштвених мрежа:

Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina

Сличне презентације

Презентација на тему: "Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina"— Транскрипт презентације:

Сличне презентације

О пројекту

Фидбек