Prof. dr. sc. Pavao Marović

Slides:



Advertisements
Сличне презентације
Режим рада при кратком споју
Advertisements

Мерење силе динамометром
СТАБИЛИЗАЦИЈА РАДНЕ ТАЧКЕ
УРЕЂАЈИ ЗА НАПАЈАЊЕ БИЗНИС ЦЕНТРАЛА
Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina
Kartografske projekcije i GIS
SLIČNOST.
Stalno opterećenje Bg = (30×122/2)/9 = 240 kN
Elektronički logički sklopovi i registri
Primjena programiranja u nastavi matematike
ISTICANJE KROZ MALI OTVOR
Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo
Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo
Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu!
ANALITIČKA METODA ZA KINEMATIČKU ANALIZU – METODA KOMPLEKSNOG BROJA
PROJEKTOVANJE TEHNOLOGIJE ZAVARIVANJA
ELEKTRIČNO I MAGNETNO POLJE
Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu!
Ponašanje potrošača.
BREGASTI MEHANIZMI.
PRIMJENA SLIČNOSTI NA IGRALIŠTU
Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu!
Nastavna jedinica: 1.5. Elektronički logički sklopovi i registri
VEDSKA MATEMATIKA (Trikovi lakšeg računanja) 
1.4 Elastične deformacije i kompresibilnost fluida
PROJEKTOVANJE TEHNOLOGIJE ZAVARIVANJA
Krug i kružnica.
Preslikavanje ravnina
Preslikavanja ravnine
ОСНОВНИ ФИЗИЧКИ ПОЈМОВИ У КВАНТНОЈ МЕДИЦИНИ ( први део)
ОТПОРНОСТ МАТЕРИЈАЛА Р. Маретић.
Rješavanje jednadžbi 2.
Електрична сила Кулонов закон.
Osnove pseudo jezika operatori, funkcije
Funkcije.
PRIKAZIVANJE I ANALIZA PODATAKA
Давачи силе.
Nastavna jedinica: 1.3. (B) Crtanje kružnice
Što je to kružnica?.
7.2 Faza, početna faza i fazna razlika naizmeničnih veličina
Кинематика и кретање.
METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA
Др Наташа Папић-Благојевић
5. Проводници и изолатори у електричном пољу. Расподела оптерећења.
КОНУСНИ ПРЕСЕЦИ Висока грађевинско-геодетска школа Београд /
Primjer održivosti bioreaktorskog odlagališta komunalnog otpada Autori: Marin Herenda, dipl.ing.prom. Kristina Tomašić, dipl.ing.građ. H-PROJEKT.
Odrediti ekvalentan kapacitet za sistem kondenzatora dat na slici.
STRUKTURA ATOMA elektroni e=-1,602·10-19 C (As) me=9,107·10-31 kg
VALOVI.
 INDUKTIVITET U STRUJNOM KRUGU zbog ~ U  za N namotaja uz
Osna simetrija Zrcaljenje s x x.
ТРАНСФОРМАЦИЈА И РОТАЦИЈА
Jelena Franić Rihter, prof.
STOŽAC.
ZAMAJAC.
43.Избор електромотора.
Ohmov zakon                           Ohmov zakon je temeljni zakon elektrike (elektrotehnike). Govori o odnosu jakosti struje, napona i otpora u strujnom.
Geografska karta Utvrđivanje gradiva.
ПЕРСПЕКТИВА Висока грађевинско-геодетска школа Београд /
MAGNETNO POLJE svako kretanje elektrona izaziva nastajanje orijentiranog magnetnog polja magnetni dipol magnetna orijentiranost pojedinih molekula nema.
IZMJENIČNE STRUJE perioda napona T uz kutnu brzinu kut je
Unutarnja energija i toplina
КОНУСНИ ПРЕСЕЦИ Висока грађевинско-геодетска школа Београд /
DINAMIKA KONSTRUKCIJA I ZEMLJOTRESNO INŽENJERSTVO
MATLAB.
ЛОПТА Висока грађевинско-геодетска школа Београд /
Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina
ELEKTROMOTORNI POGON 4. Zdravko Borić.
Mehanika Šifra predmeta Status predmeta Semestar Broj ECTS Fond časova
Транскрипт презентације:

Prof. dr. sc. Pavao Marović Otpornost materijala I Šk. god. 2008/2009 Otpornost materijala I 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, nastavak 8. 5. Uzdužna sila

8. SAVIJANJE RAVNIH ŠTAPOVA Pravo Čisto Koso Sa silama Promatramo ravni štap, napravljen od homogenog, izotropnog, elastičnog materijala, konstantnog poprečnog presjeka, koji je opterećen konstantnim momentom savijanja. Prema tome, svaki dio štapa se nalazi u jednakim uvjetima. Za jedan diferencijalni dio štapa napravit ćemo sve analize. Otpornost materijala I 8. Savijanje 5. Uzdužna sila

1) Statička analiza: m M n z B M T x m A dx A(z,y)__dA n y Presječnica ravnine poprečnog presjeka (zy) i ravnine momenta savijanja (xy) je os y. 1) Statička analiza: Moment savijanja djeluje u ravnini xy, a vrti oko osi z. m M n z B M T x m A dx A(z,y)__dA n y Otpornost materijala I 8. Savijanje

A σxz σxx σxy = 0 = 0 (1) = 0 = 0 (2) = 0 (3) = M Promatrajmo opće stanje naprezanja u točki A: σxx Postavimo sve moguće jednadžbe ravnoteže: σxy = 0 Pošto u našem slučaju nemamo nikakvih vanjskih poprečnih sila niti momenta torzije, možemo staviti da je: Ty = Tz = Mt = 0 = 0 (1) = 0 Iz ove 3 jednadžbe nam slijedi da nemamo nikakvih posmičnih naprezanja: σxy = σxz = τ = 0 = 0 (2) = 0 Naše jedino opterećenje je moment savijanja oko osi z, Mz=M (3) = M 1. grupa jedn. – statičke jednadžbe Otpornost materijala I 8. Savijanje

2) Geometrijska analiza: Da bi odredili zakon razdiobe normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka, promatrati ćemo ponašanje vlakanaca na diferencijalnom elementu dx. Uzeti ćemo neopterećeni štap i na njemu nacrtati dva sustava međusobno okomitih linija: (1) konture poprečnih presjeka; i (2) paralelne izvodnice (slika 14.7, str. 309). Nakon što smo štap opteretili momentom savijanja, štap će se deformirati: (1) poprečni presjeci će ostati ravni i okomiti na uzdužnu os (Navier-ova pretpostavka o ravnim presjecima), zaokrenuti i radijalno usmjereni te okomiti na uzdužne izvodnice; (2) izvodnice će činiti sustav koncentričnih kružnica. Što se dogodilo s izvodnicama? neke su se skratile, a1<a neke su se produljile, a2>a neke su ostale nepromijenjene a a1<a neutralni sloj a2>a Otpornost materijala I 8. Savijanje

dφ R=ρ+y ρ m n M M B0 A0 y B A B0 A0 y dx B1 A1 Skup vlakanaca koji pri deformiranju štapa nije promijenio svoju dužinu naziva se neutralni sloj. Presječnica neutralnog sloja i poprečnog presjeka se naziva neutralna os. dφ R=ρ+y ρ m n M M A0 B0 y B A A0 B0 neutralni sloj y dx B1 A1 Otpornost materijala I 8. Savijanje

Relativna deformacija vlakanca B1A1 je: Dobili smo da je promjena relativnih deformacija po visini poprečnog presjeka linearna. 3) Fizikalna analiza: Kako smo vidjeli, tangencijalna naprezanja na plaštu odnosno posmična naprezanja u poprečnom presjeku su nula, te nam ostaju samo normalna naprezanja u poprečnom presjeku: σxx σxx B A Otpornost materijala I 8. Savijanje

4) Rješavanje sustava jednadžbi: Vidimo da je raspodjela normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka linearna. Iz jednadžbe (3): slijedi: Kako je E konstantno, ako se radi o homogenom i izotropnom materijalu, možemo pisati: Ako uzmemo da je [m4] osni moment tromosti ili mom. trom. obzirom na os z Izraz za deformaciju kod savijanja: Pri tome je E·Iz – krutost na savijanje ili savojna krutost. Otpornost materijala I 8. Savijanje

istom savijanju u bilo kojoj točki presjeka: Ako izraz za deformaciju uvrstimo u izraz za opću raspodjelu normalnih naprezanja po visini poprečnog presjeka dobiti ćemo izraz koji nam daje mogućnost određivanja normalnih naprezanja pri istom savijanju u bilo kojoj točki presjeka: Promatrajmo jednadžbu (1): Kako je slijedi da je Sz - statički moment površine obzirom na os z [m3] Ovo je ujedno jednadžba težišta poprečnog presjeka, a pokazuje da neutralna os prolazi težištem poprečnog presjeka. Otpornost materijala I 8. Savijanje

Preostaje nam još jednadžba (2): Kako je slijedi da je Izy - centrifugalni moment tromosti u odnosu na osi z i y [m4] Prema tome, da bi sve ovo što smo do sada kazali bilo ispravno, centrifugalni moment tromosti obzirom na osi z i y mora biti jednak nuli, odnosno, ravnina djelovanja momenta savijanja mora biti ili ravnina xy (što je ovdje pokazano) ili ravnina xz (slično uz zamjenu indeksa). Otpornost materijala I 8. Savijanje

Os x se podudara s osi štapa. Komentari: Os x se podudara s osi štapa. Os y prolazi težištem poprečnog presjeka – Sy=0. Os z prolazi težištem poprečnog presjeka – Sz=0. Osi y i z su središnje osi poprečnog presjeka, može ih biti više. Ravnina djelovanja momenta savijanja prolazi kroz os štapa. Centrifugalni moment tromosti Izy=0 → osi y i z su glavne osi poprečnog presjeka, ima samo jedan par. Sz=Sy=0 → osi z i y su središnje osi Izy=0 → osi z i y su glavne osi Sz=Sy=Izy=0 → osi z i y su glavne središnje osi Za slučaj pravog čistog savijanja, ravnina djelovanja momenta savijanja mora se poklapati s jednom od ravnina glavnih osi, xy ili xz. Otpornost materijala I 8. Savijanje

Najveća naprezanja se javljaju u rubnim vlakancima, za y=ymax. σmin T - ymin z neutralna os ymax + σmax y (vlačna naprezanja) (tlačna naprezanja) Uz zamjenu što vrijedi samo za krajnja vlakanca: Naprezanja u krajnjim vlakancima: Wz - osni moment otpora obzirom na os z [m3] Otpornost materijala I 8. Savijanje

Za prethodni poprečni presjek u rubnim vlakancima imamo: Za poprečni presjek simetričan obzirom na os z, ymax = ymin = h/2: Uvjet čvrstoće moramo ispuniti na oba ruba, σvlak ≠ σtlak : Otpornost materijala I 8. Savijanje

Oblik poprečnog presjeka ne utječe na dijagram normalnih naprezanja ili dijagram normalnih naprezanja ima isti oblik za sve poprečne presjeke (raspodjela je uvijek linearna). Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.1 – Momenti tromosti Momenti tromosti su karakteristike poprečnog presjeka. Ovise o obliku i veličini poprečnog presjeka. Dimenzije [m4]. y Definirajmo momente tromosti: dA Osni momenti tromosti: z ρ y T z Polarni moment tromosti: Ip = Iz + Iy Iz crteža slijedi: Centrifugalni moment tromosti: Otpornost materijala I 8. Savijanje

Iz gornjih definicija slijedi: Iz , Iy , Ip > 0 Izy <=> 0 ovisno o z i y Ako presjek ima jednu os simetrije: z y +z -z Izy = 0 Otpornost materijala I 8. Savijanje

Ako nije, onda presjek dijelimo na manje, jednostavnije, dijelove. Kod izračunavanja ovih integrala (momenata tromosti) mora nam biti zadana, analitički, granica integriranja. Ako nije, onda presjek dijelimo na manje, jednostavnije, dijelove. y A1 A T z A2 A3 Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.2 – Redukcijski Steiner-ovi stavci Određivanje momenata tromosti obzirom na međusobno paralelne osi. Zadano: y y1 b z1 dA z ρ y T z Po definiciji imamo: y1 a z1 Sz=0 z1 = b + z y1 = a + y Iz1 = a2·A + Iz Otpornost materijala I 8. Savijanje

Iz1 = Iz + a2·A Iy1 = Iy + b2·A Osni moment tromosti obzirom na neku zadanu os (z1 ili y1) jednak je momentu tromosti obzirom na paralelnu os (z ili y) kroz težište poprečnog presjeka plus produkt površine poprečnog presjeka (A) i kvadrata udaljenosti između paralelnih osi (a2 ili b2). Otpornost materijala I 8. Savijanje

Sy=0 Sz=0 Iz1y1 = Izy + a·b·A Centrifugalni moment tromosti obzirom na zadani par međusobno okomitih osi (z1, y1) jednak je centrifugalnom momentu tromosti obzirom na sustav međusobno okomitih osi (z, y) kroz težište poprečnog presjeka koje su paralelne zadanim osima plus produkt površine poprečnog presjeka (A) i udaljenosti međusobno paralelnih osi (a, b). Otpornost materijala I 8. Savijanje

Zaključci / Komentari: Kod proračuna osnih momenata tromosti, udaljenosti dolaze na kvadrat (a2, b2) pa ne moramo voditi računa o predznacima tih dužina. Kod proračuna centrifugalnog momenta tromosti moramo voditi računa o predznacima dužina a i b jer ne dolaze pod kvadrat. Naime, dužine a i b su koordinate težišta poprečnog presjeka u koordinatnom sustavu z1-y1. Osni momenti tromosti imaju najmanju vrijednost za osi koje prolaze kroz težište poprečnog presjeka (Iz<Iz1, Iy<Iy1). Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.3 – Analitički izrazi momenata tromosti uobičajenih likova Krug dA=2·π·ρ·dρ y T dρ ρ z Ip = Iz + Iy Zbog simetrije imamo da je Iz = Iy pa slijedi da je: Ip = 2·Iz = 2·Iy odnosno: Iz = Iy =1/2 Ip d=2r Izy = 0 Otpornost materijala I 8. Savijanje

Polukrug y T z1 Izy = 0 z d=2r Iz1 = ? (na vježbama) Iz1y = 0 z y d=2r T z1 Izy = 0 Iz1 = ? (na vježbama) Iz1y = 0 Otpornost materijala I 8. Savijanje

Pravokutni poprečni presjek y dA=b·dy h h/2 dy y T z b/2 b Izy = 0 Otpornost materijala I 8. Savijanje

Paralelogram dA=b·dy dy y z h b Otpornost materijala I 8. Savijanje

Pravokutni trokut y h-y h dy by y z b dA=by·dy z b (ovo su momenti tromosti obzirom na osi koje prolaze katetama pravokutnog trokuta) Otpornost materijala I 8. Savijanje

Pravokutni trokut y y0 h z0 T h/3 z b/3 b (odredimo momente tromosti obzirom na osi koje prolaze težištem pravokutnog trokuta) Ovo je sada određivanje momenata tromosti obzirom na međusobno paralelne osi – primjena Steiner-ovih stavaka: y y0 h T z0 h/3 z b/3 b Otpornost materijala I 8. Savijanje

y y0 h z0 T h/3 + z b/3 b z0 T - y0 Otpornost materijala I T y0 z0 b/3 h/3 + T y0 z0 - Otpornost materijala I 8. Savijanje

Kosokutni trokut y h z0 Konačni zaključak: z Uvijek moramo voditi računa o orijentaciji koordinatnog sustava i o predznaku centrifugalnog momenta tromosti. z b Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.4 – Momenti tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava Zadano: y1 y dA z z1 y1 z1 α y T z Rotirajmo ovaj koord. sustav i tražimo momente tromosti obzirom na rotirane koordinatne osi: z1 = z · cosα + y · sinα y1 = y · cosα - z · sinα Otpornost materijala I 8. Savijanje

Iz Izy Iy (1) Iy Izy Iz (2) Otpornost materijala I 8. Savijanje

Izy Iz Iy Izy (3) Otpornost materijala I 8. Savijanje

Zbrojimo li jednadžbe (1) i (2), dobivamo: Iz1 + Iy1 = Iz + Iy = Ip - Invarijanta momenata tromosti Zbroj osnih momenata tromosti pri rotaciji koordinatnog sustava je konstantan i jednak polarnom momentu tromosti obzirom na pol rotacije. Otpornost materijala I 8. Savijanje

Da bi odredili te ekstreme trebamo derivirati jedn. (1) i (2) po α: Pri rotaciji koordinatnog sustava osni momenti tromosti će u jednom trenutku poprimiti neke ekstremne vrijednosti ovisno o položaju koordinatnog sustava, tj. ovisno o kutu α. Da bi odredili te ekstreme trebamo derivirati jedn. (1) i (2) po α: Otpornost materijala I 8. Savijanje

Vidimo da nam derivacije osnih momenata tromosti po kutu α daju dvostruki centrifugalni moment tromosti s predznacima + i -. Za dobiti ekstremne vrijednosti, prve derivacije trebaju biti jednake nuli: Iz1y1 = 0 Ekstremne vrijednosti osnih momenta tromosti nazivamo glavnim momentima tromosti a odgovarajuće osi, glavne osi tromosti. Ako glavne osi tromosti prolaze težištem poprečnog presjeka onda se zovu glavne središnje osi tromosti, a pripadajući momenti tromosti se zovu glavni središnji momenti tromosti. Otpornost materijala I 8. Savijanje

Smjer glavnih središnjih osi tromosti odredit ćemo prema jedn. (3): Glavne momente tromosti označavamo s Iu i Iv , a glavne osi tromosti s u i v. Smjer glavnih središnjih osi tromosti odredit ćemo prema jedn. (3): Iz prethodnog izraza dobijemo vrijednost za kut α0 nakon čega veličine glavnih momenata tromosti nađemo tako da u jednadžbe (1) i (2) uvrstimo za kut α = α0. Pošto je tangens periodična funkcija, perioda π/2, to ćemo za kut dobiti dvije vrijednosti – uzimamo manju vrijednost kuta |α0|≤π/4 – u daljnjim razmatranjima uzimati ćemo samo ovu vrijednosti – kut α nanosimo po algebarskoj vrijednosti. z y v u +α Otpornost materijala I 8. Savijanje

√(Iz-Iy)2+4·I2zy 2(-Izy) 20 · Iz-Iy Otpornost materijala I 8. Savijanje

Pošto je prvi član uvijek pozitivan, slijedi: Neke napomene: Ukoliko je Iz>Iy onda je Iu>Iv → Iu=Imax i Iv=Imin Ukoliko je Iz<Iy onda je Iu<Iv → Iv=Imax i Iu=Imin Ako presjek ima neku os simetrije onda je centrifugalni moment tromosti za tu os jednak nuli, pa je ta os ujedno i glavna os, a ako ima dvije osi onda će one same biti glavne osi. Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.5 – Mohr-ova kružnica tromosti Iz Iy Izy Iz Zadano: Iz, Iy, -Izy S (Iz+ Iy )/2 Iy u v Izy  Imax x x Imin 20 Moguća je i obrnuta zadaća, da su zadani glavni momenti tromosti (Imax, Imin) te da se traže osni i centrifugalni momenti tromosti pod zadanim kutom . Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.6 – Radijusi tromosti Kod proračuna osnih momenata tromosti možemo koristiti teorem o srednjoj vrijednosti integrala: z y dA ysr = iz zsr = iy Za glavne osi tromosti imamo glavne središnje radijuse (polumjere) tromosti: Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.7 – Elipsa tromosti Zadan je poprečni presjek s glavnim središnjim osima, Iuv=0. Neka je zadana i neka os z te se traži moment tromosti obzirom na tu os. u v Iz = ? z α (1) Jednadžba (1) predstavlja jednadžbu elipse u u-v koordinatnom sustavu. Otpornost materijala I 8. Savijanje

Ovo je jednadžba elipse kojoj su poluosi radijusi tromosti iv i iu. z Uzmimo da je: A v α u Uvrstimo ovo u jedn. (1): (1) Ovo je jednadžba elipse kojoj su poluosi radijusi tromosti iv i iu. Na os v nanosimo poluos iu a na os u poluos iv. Otpornost materijala I 8. Savijanje

Na os v nanosimo poluos iu a na os u poluos iv. Jednadžba pravca p u segmentnom obliku: u v p z Veza između m, n i d: n iu d α iv iv m Vratimo u prethodnu jedn.: iu (a) Napišimo jednadžbu pravca p kao tangente na elipsu tromosti: Elipsa tromosti Otpornost materijala I 8. Savijanje

Usporedimo li jedn. (a) i (c) dobivamo točne koordinate točke C: α iv p C (-uC, vC) (c) z n iu d Usporedimo li jedn. (a) i (c) dobivamo točne koordinate točke C: α iv iv m iu Elipsa tromosti što možemo vratiti u jedn. (b): Otpornost materijala I 8. Savijanje

Usporedimo li jedn. (1) i (2) vidimo da je: iz=d α iv iv m iu uz napomenu da ova jedn. vrijedi za svako u i v, pa tako i za u=-uC i v=vC: u v p C (-uC, vC) z (2) (1) n iu d Usporedimo li jedn. (1) i (2) vidimo da je: iz=d α iv iv m iu Radijus tromosti iz jednak je udaljenosti od središta elipse tromosti do tangente na elipsu tromosti koja je paralelna sa zadanom osi. Elipsa tromosti Traženi moment tromosti obzirom na zadanu os z je: Otpornost materijala I 8. Savijanje

u v p C (-uC, vC) odnosno: z n iu d α iv iv m z1 p C (-uC, vC) odnosno: z n iu d α iv iv m z1 Slično se određuje moment tromosti i za os koja ne prolazi težištem poprečnog presjeka – os z1: iu a Elipsa tromosti Otpornost materijala I 8. Savijanje

Ako su poluosi elipse jednake, onda dobivamo kružnicu tromosti. Napomene: Elipsa tromosti nikad ne može sjeći tangentni poligon na konturu poprečnog presjeka. Elipsa tromosti uvijek je orijentirana u smjeru većih dimenzija poprečnog presjeka. Ako su poluosi elipse jednake, onda dobivamo kružnicu tromosti. Pogrešno!!! Pogrešno!!! Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.8 – Savijanje silama (opći slučaj savijanja) F h<<L y Mx h x b T z Tx L/2 F/2 F/2 T F/2 F/2 + F U presjeku x imamo: - F/2 M + FL/4 x Otpornost materijala I 8. Savijanje

Prema tome, poprečni presjeci ne ostaju ravni već se vitopere. Zaključak: Kod savijanja silama u poprečnom presjeku se javljaju i moment savijanja, koji izaziva pojavu normalnih naprezanja, i poprečna sila, koja izaziva pojavu posmičnih naprezanja. Prema tome, poprečni presjeci ne ostaju ravni već se vitopere. Postoji međudjelovanje između uzdužnih vlakanaca. Posljedica: Vlakanca se ne nalaze u jednoosnom (1D) stanju naprezanja, već u dvoosnom stanju naprezanja (2D). Pitanje: Kako odrediti ta normalna i posmična naprezanja? Otpornost materijala I 8. Savijanje

Određivanje normalnih naprezanja pri savijanju silama: - radi se o maloj pogrešci - proračun se pojednostavljuje - naime, utjecaj poprečne sile na normalna naprezanja za slučaj h<<L je zanemariv (veličina ovog utjecaja će se pokazati kasnije) Zaključak: Izraz za određivanje normalnih naprezanja je jednak i za slučaj čistog savijanja i za slučaj savijanja silama! Otpornost materijala I 8. Savijanje

T M Određivanje posmičnih naprezanja pri savijanju silama: L/2 h h<<L F F/2 + - T FL/4 M x 1 2 Promatrati ćemo diferencijalni element grede omeđen presjecima 1-1 i 2-2 odnosno 3-3. 3 3 1 2 Mx Mx+dMx dx Otpornost materijala I 8. Savijanje

U presjeku 1-1 djeluju: T=Tx i M=Mx z y dx x 1 2 T Mx+dMx Mx τyx y0 T 3 3 ymax τxy τxy σ+dσ σ b U presjeku 1-1 djeluju: T=Tx i M=Mx U presjeku 2-2 djeluju: T=Tx i M=Mx+dMx Promatrati ćemo dif. element grede omeđen presjecima 1-1, 2-2 i 3-3. Raspodjela normalnih naprezanja: Otpornost materijala I 8. Savijanje

Uvjet ravnoteže promatranog elementa glasi: ∑ X = 0 b τyx σ τxy τxy σ+dσ dx Uvjet ravnoteže promatranog elementa glasi: ∑ X = 0 Otpornost materijala I 8. Savijanje

statički moment površine A1 obzirom na neutralnu os z. pri čemu je: Ostaje nam: Kako je konačni izraz za posmična naprezanja kod savijanja silama glasi: Otpornost materijala I 8. Savijanje

Izraz za određivanje posmičnih naprezanja: Primjer: Određivanje posmičnih naprezanja kod savijanja silama za pravokutni poprečni presjek z y T Izraz za određivanje posmičnih naprezanja: h/2 h b y0 ymax za y0 = ymax A1 za y0= 0 Otpornost materijala I 8. Savijanje

y za y0 = ymin T z za y0= 0 parabola II reda za y0 = ymax Otpornost materijala I 8. Savijanje

Opće stanje naprezanja u nekoj točki grede opterećene savijanjem silama određujemo na slijedeći način: τ σ σ τ Otpornost materijala I 8. Savijanje

Određivanje posmičnih naprezanja pri savijanju silama za neke karakteristične poprečne presjeke: b b Otpornost materijala I 8. Savijanje

Posmična naprezanja imaju najveću vrijednost u neutralnom sloju: Zaključci / Napomene: Dijagram posmičnih naprezanja uslijed poprečne sile kod savijanja silama ovisi o obliku poprečnog presjeka. Posmična naprezanja su jednaka nuli u krajnjim vlakancima odnosno u vlakancima koja su najudaljenija od neutralnog sloja. Posmična naprezanja imaju najveću vrijednost u neutralnom sloju: Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.9 – Raspodjela posmičnih naprezanja u I-profilu Postupak određivanja posmičnih naprezanja u nosaču pravokutnog i kružnog poprečnog presjeka može se primijeniti i na nosač koji ima neki drugi oblik poprečnog presjeka s jednom osi simetrije. τxz τxy z tr h tp Mx+dMx T x Mx T dx y Otpornost materijala I 8. Savijanje

Određivanje horizontalnih posmičnih naprezanja τxz: u h/2-t/2 σx·dA z x A1 dx τzx y dx t u Iz uvjeta ∑x=0 slijedi: σ’x·dA Otpornost materijala I 8. Savijanje

Kako je: uz: Konačno dobivamo: Vidimo da je promjena τzx i τxz linearna. Konačno dobivamo: Otpornost materijala I 8. Savijanje

Posmična naprezanja u pojasevima imaju isti tok s posmičnim naprezanjima u rebru, koji imaju smjer poprečne sile → primjer na jednom I-nosaču: Otpornost materijala I 8. Savijanje

Ovo vrijedi za sve tzv. otvorene profile, a naziva se cirkulacija posmičnih naprezanja. y b Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.10 – Glavna naprezanja i trajektorije naprezanja F F σ1=σ σ2=0 α=0 σ τ L/3 h A σA τA σ1=-σ2=τ α=±45 F F T σA τA F + TA F A - F F M MA FL/3 + Otpornost materijala I 8. Savijanje

Trajektorije glavnih naprezanja su linije koje u konstrukciji spajaju točke s jednakim glavnim naprezanjima. Kroz svaku točku prolaze dvije trajektorije glavnih naprezanja – vlačna (puna linija) i tlačna (crtkana linija) trajektorija. (slika 14.45, str. 351) Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.11 – Koso savijanje Do sada smo promatrali slijedeću situaciju (pravo savijanje): RDMS (x-y) osi z i y – glavne osi, Izy=0 z y T RDMS (x-y) ≡ RS ≡ gl.os (y) n.o. ≡ gl.os (z) → n.o. ┴ RDMS n.o. Normalna naprezanja od savijanja računamo po izrazu: Otpornost materijala I 8. Savijanje

Ako se RDMS ne podudara ni s jednom od glavni osi: RDMS (x-y) T u v osi u i v – glavne osi, Iuv=0 RDMS (x-y) ≠ gl.os (u ili v) z Zaključak: n.o. ≠ os (z) n.o. n.o. ≠∟ RDMS KOSO SAVIJANJE y Dokaz: → Otpornost materijala I 8. Savijanje

Pretpostavimo da je os z neutralna os poprečnog presjeka! Dokaz: Pretpostavimo da je os z neutralna os poprečnog presjeka! To znači da trebaju biti ispunjeni slijedeći uvjeti ravnoteže: (1) ∑X = 0 (2) ∑M(y) = 0 (3) ∑M(z) = M Jedn. (2) raspisana glasi: Vrijedi pretpostavka o ravnim presjecima te imamo: To uvrstimo gore i dobivamo: Kako je slijedi da treba biti =0 Pošto osi z i y nisu glavne osi, to slijedi da Zaključak: Neutralna os nije os z; neutralna os nije okomita na RDMS; RDMS ne poklapa se ni s jednom glavnom osi. Otpornost materijala I 8. Savijanje

Rekapitulacija: Kod kosog savijanja, ravnina djelovanja momenta savijanja (ravnina djelovanja opterećenja) ne poklapa se ni s jednom glavnom osi poprečnog presjeka. Kod kosog savijanja, ravnina djelovanja momenta savijanja i ravnina savijanja se ne podudaraju. Kod kosog savijanja, neutralna os poprečnog presjeka nije okomita na ravninu djelovanja momenta savijanja (naime, neutralna os je uvijek okomita na ravninu savijanja). Otpornost materijala I 8. Savijanje

Promatrajmo slijedeću situaciju (koso savijanje): RDMS osi u i v – glavne osi, Iuv=0 Kut α je pozitivan ako se otvara od +v prema +u. α M Mv Imamo koso savijanje jer se RDMS ne poklapa ni s jednom glavnom osi, u ili v. α Mu Koristimo princip superpozicije: Mu=M·cosα Mv=M·sinα Otpornost materijala I 8. Savijanje

RDMS v A α M Mv n.o. (A) σxx = σmin - u T Mu φ C (C) σxx B + Pomoću prethodnog izraza možemo odrediti naprezanje u svakoj točki poprečnog presjeka. u v T RDMS α M Mu Mv Vrhovi vektora tih naprezanja tvore jednu ravninu, a njena presječnica s ravninom poprečnog presjeka daje nam neutralnu os (n.o. ≠∟RDMS). A n.o. (A) σxx = σmin - φ C Neutralna os ima otklon φ u istom smjeru kao i kut α ali od druge glavne osi. (C) σxx B + (B) σxx = σmax Otpornost materijala I 8. Savijanje

Za odrediti točni položaj neutralne osi (kut φ), imamo uvjet σxx=0 n.o. RDMS α φ jednadžba neutralne osi (1) Ovo je izraz pomoću kojega ćemo odrediti položaj neutralne osi. Određivanje naprezanja u rubnim točkama A i B: Otpornost materijala I 8. Savijanje

Položaj neutralne osi možemo naći i pomoću elipse tromosti: v T RDMS α osi u i v – glavne osi, Iuv=0 n.o. Jedn. elipse tromosti: A(uA,vA) iu Postavimo tangentu na elispu tromosti u točki A: iv φ (2) Elipsa tromosti Otpornost materijala I 8. Savijanje

Usporedimo jednadžbe (1) i (2): Vidimo da je neutralna os paralelna s tangentom na elipsu tromosti u točki A (imaju isti koeficijent smjera pravca). (2) tgα Zaključak: Kod kosog savijanja neutralna os prolazi težištem poprečnog presjeka i paralelna je s tangentom na elipsu tromosti u sjecištu elipse tromosti i ravnine djelovanja momenta savijanja. Otpornost materijala I 8. Savijanje

Određivanje posmičnih naprezanja kod kosog savijanja silama: Tv u v T Sv bv Tu bu A σxu Su σxv τ Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.12 – Potencijalna energija pri savijanju Nas zanima situacija u elastičnom području. θ rad vanjskih sila M M (u elastičnom području, pot. energija je jednaka radu vanjskih sila) L Ms A M θ Potencijalna energija Vidimo da je pot. energija deformiranja uvijek pozitivna, U>0, jer je kvadratna funkcija od Ms ili θ. To je površina ispod Ms - θ dijagrama. Otpornost materijala I 7. Torzija

8.13 – Sastavljeni nosači σ τ T M Promatrajmo jednu monolitnu gredu. F h b L/2 F/2 F/2 F/2 F + - T M + FL/4 Otpornost materijala I 8. Savijanje

σ τ Promatrajmo sada jednu sastavljenu gredu. F h/2 h h/2 b L/2 Dijagrami M i T su isti kao za prethodni slučaj (monolitna greda). Naprezanja: U ovom slučaju imamo dvostruka naprezanja! Što napraviti da imamo jednaka naprezanja u oba slučaja? Otpornost materijala I 8. Savijanje

Odgovor se krije u deformacijama. Da bi imali jednaka naprezanja, deformacije moraju biti jednake. MONOLITNA GREDA Ova posmična naprezanja trebaju preuzeti odgovarajuća spojna sredstva. SASTAVLJENA GREDA Otpornost materijala I 8. Savijanje (slika 14.64, str. 386)

Zaključak: Proračun sastavljenog nosača se provodi tako da najprije proračunamo nosač kao da je monolitan (unutarnje sile i naprezanja) a zatim proračunavamo spojna sredstva koja moraju preuzeti posmična naprezanja/sile. Detaljnije se o raznim situacijama može vidjeti u knjizi na str. 387-400. Otpornost materijala I 8. Savijanje

8.14 – Savijanje štapa izrađenog od različitih materijala Promatrati ćemo dif. dio ravnog štapa izrađenog od dva različita materijala opterećen samo momentom savijanja (čisto savijanje). x y z 1 2 b E1 M M E2 1-D stanje naprezanja: Deformacije su proporcionalne udaljenosti od neutralne osi, ali ne znamo njezin položaj. Otpornost materijala I 8. Savijanje

εxx 1 σxx 1 1 E1 z 2 E2 εxx 2 σxx 2 y b Uvjet ravnoteže: ∑x=0 E1≠E2 , E2>E1 Uvjet ravnoteže: ∑x=0 Otpornost materijala I 8. Savijanje

Jednadžba neutralne osi Da je E1=E2 to bi bila jedn. težišta. Sada postavljamo drugu jednadžbu ravnoteže: ∑M(z)=M Iz1 Iz2 Otpornost materijala I 8. Savijanje

Iz prethodnog izraza slijedi izraz za deformaciju: Za slučaj da je E1=E2=E imali bi da je Iz1+Iz2=Iz Sada možemo napisati izraze za naprezanja: Ovi izrazi su malo složeni, te se može postaviti pitanje da li se oni mogu svesti na poznati nam izraz: To možemo napraviti pomoću reduciranog poprečnog presjeka, tj. poprečni presjek reduciramo samo na jedan materijal. Otpornost materijala I 8. Savijanje

Položaj neutralne osi mora ostati nepromijenjen; Da bi taj reducirani poprečni presjek bio ekvivalentan ishodišnom poprečnom presjeku trebaju biti zadovoljeni slijedeći uvjeti: Položaj neutralne osi mora ostati nepromijenjen; U ishodišnom i u reduciranom poprečnom presjeku imamo isti moment savijanja. Uz jednadžba neutralne osi glasi: Iz ovog izraza se vidi da se reducirani poprečni presjek sastoji iz samo jednog materijala (u našem slučaju to je materijal 1). Nadalje, vidimo da smo ishodišni presjek reducirali tako da površina A1 ostaje nepromijenjena, dok je površina A2 dana sa širinom n·b, pri čemu y ostaje nepromijenjen. Otpornost materijala I 8. Savijanje

Reducirani poprečni presjek Ishodišni poprečni presjek b y z 1 2 b 1 A1 z y n·b Izrazi za naprezanja sada glase: Uz zamjenu u nazivniku: Otpornost materijala I 8. Savijanje

Konačni izrazi za naprezanja glase: Naprezanja u materijalu 1 dobivamo stvarna, jer smo poprečni presjek reducirali na materijal 1, dok naprezanja u materijalu 2 dobivamo još množenjem s faktorom n (odnos E2/E1). Ovo se često koristi u armiranom betonu: σxx b σxx a = n · σxx b Otpornost materijala I 8. Savijanje

Kraj gradiva u zimskom semestru. Vidimo se u ljetnom semestru. Otpornost materijala I Kraj nastave u zimskom semestru