Funkcije.

Презентација на тему: "Funkcije."— Транскрипт презентације:

1 Funkcije

2 Od čega se sastoje funkcije? Koje simboličke zapise koristimo pri
Što su funkcije? Od čega se sastoje funkcije? Koje simboličke zapise koristimo pri zapisivanju funkcija? ... U potrazi za odgovorima, krenimo s primjerima iz svakodnevnog života...

3 se zove koji dan u tjednu, rekli su nam da je: 1. dan ponedjeljak,
Primjer 1.: Kad smo bili mali i kad su nas učili kako se zove koji dan u tjednu, rekli su nam da je: 1. dan ponedjeljak, 2. dan utorak, 3. je srijeda itd. To možemo i ovako zapisati: 1 → ponedjeljak 2 → utorak Time je zadana funkcija koja svakom broju od 1 do 7 pridružuje točno jednu riječ. Možemo reći da je svakom broju od 1 do 7 pridružen po jedan dan. 3 → srijeda 4 → četvrtak 5 → petak 6 → subota Za početak zapamtimo da funkcija “nečemu pridružuje nešto”. 7 → nedjelja

4 U jednoj školi ima 6 viših razreda:
Primjer 2.: U jednoj školi ima 6 viših razreda: 5.a → 21 Za svaki razred možemo izbrojati koliko učenika ima u njemu. Time je zadana funkcija koja svakom razredu od 5.a do 8.b pridružuje točno jedan broj. Možemo reći da je svakom razredu od 5.a do 8.b pridružen broj učenika. 5.b → 19 6. → 26 7. → 25 Dakle, i u ovom primjeru funkcija “nečemu pridružuje nešto”. 8.a → 17 8.b → 18

5 → Uočimo kroz prošle primjere od čega se sastoji svaka funkcija !
Vratimo se na 1. primjer: Svaka se funkcija sastoji od: 1 → ponedjeljak 2 utorak 3 srijeda 4 četvrtak 5 petak 6 subota 7 nedjelja - objekata kojima nešto pridružujemo - objekata koje pridružujemo - pravila pridruživanja Kao prvo, ovdje imamo brojeve Nadalje, imamo objekte kojima nešto pridružujemo! koje pridružujemo! I treće, imamo pravilo po kojem pridružujemo! To nam pravilo npr. kaže da broju 1 pridružujemo baš ponedjeljak, a ne npr. četvrtak.

6 → Uočimo to i u 2. primjeru: Kojim objektima ovdje nešto pridružujemo?
21 5.b 19 6. 26 7. 25 8.a 17 8.b 18 Kojim objektima ovdje nešto pridružujemo? Pridružujemo razredima 5.a, 5.b, 6., b . Što im pridružujemo? Pridružujemo im brojeve 21, 19, 26... Po kojem pravilu se vrši pridruživanje? Svakom razredu pridružuje se broj učenika tog razreda.

7 Svako dijete možemo upitati koju boju najviše voli.
Primjer 3.: U obitelji Jelić je četvero djece: Ivan → plava Svako dijete možemo upitati koju boju najviše voli. → Ana žuta, narančasta → Mira crvena → - (nijednu boju ne voli posebno) Joža Uočavaš li po čemu se ovo pridruživanje razlikuje od prethodnih? Ani su pridružene dvije boje Joži nije pridružena nijedna boja Funkcija ne dopušta nijedno od toga !!! Funkcija uvijek svakome iz prvog stupca pridružuje točno jedan objekt iz drugog stupca !!! Stoga u ovom primjeru nemamo funkciju. (imamo pridruživanje, ali se ono ne naziva funkcijom)

8 → Zadatak 1.: Provjerimo jesmo li dobro razumjeli: a)
siječanj 2 veljača 3 ožujak 4 travanj 5 svibanj 6 lipanj 7 srpanj 8 kolovoz 9 rujan 10 listopad studeni prosinac 11 12 Možeš li uočiti po kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Svakom broju od 1 do 12 pridružen je odgovarajući naziv mjeseca u godini. Je li time zadana funkcija? Je. Po čemu to znamo? Po tome što je svakom broju iz lijevog stupca pridružen točno jedan naziv iz desnog.

9 → Zadatak 1.: Provjerimo jesmo li shvatili: b)
Zagreb → ZG Varaždin VŽ Rijeka RI Osijek OS Split ST Dugo Selo - Crikvenica Možeš li uočiti po kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Gradovima iz lijevog stupca pridružene su odgovarajuće kratice sa registarskih tablica. Imamo li i ovdje funkciju? Nemamo. Zašto? Zato što Dugom Selu i Crikvenici ništa nije pridruženo, a funkcija bi svakome iz lijevog stupca trebala pridružiti točno jedan objekt iz desnog.

10 → Zadatak 1.: Provjerimo jesmo li shvatili: c)
31 → siječanj 28, 29 veljača ožujak 30 travanj svibanj lipanj srpanj kolovoz rujan listopad studeni prosinac Možeš li uočiti po kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Svakom mjesecu pridružen je broj dana u tom mjesecu. Je li time zadana funkcija? Nije. Zašto? Jer su veljači pridružena dva broja, a funkcija bi svakome iz lijevog stupca trebala pridružiti točno jedan broj iz desnog.

11 → Zadatak 1.: Provjerimo jesmo li shvatili: d)
nedovoljan 2 dovoljan 3 dobar 4 vrlo dobar 5 odličan Po kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Svakom broju od 1 do 5 pridružen je naziv ocjene koju predstavlja taj broj. Je li time zadana funkcija? Je. Po čemu to znamo? Po tome što je svakom broju iz lijevog stupca pridružen točno jedan naziv iz desnog.

12 svakom elementu jednog skupa
Zapamtimo što vrijedi za svaku funkciju: Funkcija svakom elementu jednog skupa pridružuje točno jedan element drugog ili tog istog skupa.

13 Matematičari kao matematičari...
...oni vole brojevima pridruživati brojeve... Pa krenimo na primjere s brojevima!

14 Primjer 4.: 1 → 2 3 4 5 6 8 10 12 Možeš li uočiti po kojem pravilu se ovdje vrše pridruživanja? Svakom broju iz lijevog stupca pridružen je dva puta veći (tj. dvostruki) broj. Je li time zadana funkcija? Je. ... Zašto? Jer je svakom broju iz lijevog stupca pridružen točno jedan broj iz desnog stupca.

15 → ... f (x) = 2∙x Primjer 4.: Ako želimo opisati pravilo pridruživanja
1 → 2 3 4 5 6 8 10 12 Ako želimo opisati pravilo pridruživanja ove funkcije, možemo reći: Ova funkcija svakom broju pridružuje dva puta veći broj. Da ne bi pisali tako duge rečenice, matematičari su smislili kraći zapis. Evo ga: ... f (x) = 2∙x Objasnimo taj zapis! f je ime funkcije izraz 2∙x nakon znaka = govori nam što se pridružuje onom broju x iz zagrade x u zagradi predstavlja bilo koji broj kojem nešto pridružujemo Ime funkcije može biti bilo koje slovo. Mi ćemo najčešće koristiti slova f, g, h. U ovom primjeru pridružujemo mu 2∙x , tj. 2 puta veći broj.

16 → ... f (x) = 2∙x Primjer 4.: Ako želimo opisati pravilo pridruživanja
1 → 2 3 4 5 6 8 10 12 Ako želimo opisati pravilo pridruživanja ove funkcije, možemo reći: Ova funkcija svakom broju pridružuje dva puta veći broj. Da ne bi pisali tako duge rečenice, matematičari su smislili kraći zapis. Evo ga: ... f (x) = 2∙x Ovaj zapis čitamo: " ef od iks jednako je dva puta x " Dakle, f(x) čitamo: " ef od x "

17 → ... Primjer 4.: Kao što nam zapis f(x) = 2∙x govori
1 → 2 3 4 5 6 8 10 12 Kao što nam zapis f(x) = 2∙x govori što pridružujemo bilo kojem broju x , tako nam npr. zapis f(3) = 6 govori što pridružujemo broju 3 . Pridružujemo mu broj 6 . ... Zapis f(3) = 6 čitamo: " ef od 3 jednako je 6 " . Dopunimo: f (1) = 2 Kako to čitamo? f od 1 jednako je 2 f (2) = ( Što ova funkcija pridružuje broju 1 ? ) 4 Kako to čitamo? Što to znači? f (8) = ( Što ova funkcija pridružuje broju 2 ? ) 16 f od 2 jednako je 4 To znači da ova funkcija broju 1 pridružuje broj 2 . Što to znači? f (10) = 20 To znači da ova funkcija broju 2 pridružuje broj 4 . f (7.3) = 14.6

18 Zadatak 2.: Provjerimo jesmo li dobro shvatili: . . . Možeš li uočiti po kojem pravilu se brojevima iz 1. stupca pridružuju brojevi iz drugog? 5 → 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 Svakom broju pridružen je za 3 manji broj. Kako bismo to simbolički zapisali? g (x) = x - 3 Kako to čitamo? ge od x jednako je x minus 3 . . .

19 → Zadatak 2.: . . . . . . Provjerimo jesmo li dobro shvatili:
5 → 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 Dopunimo: g (4) = 1 Kako to čitamo? g od 4 jednako je 1 . g (-2) = -5 Kako to čitamo? Što to znači? g od -2 jednako je -5 . g (0) = -3 Kako to čitamo? To znači da ova funkcija broju 4 pridružuje broj 1 . Što to znači? g od 0 jednako je -3 . To znači da ova funkcija broju -2 pridružuje broj -5 . Što to znači? To znači da ova funkcija broju 0 pridružuje broj -3 . . . .

20 Zadatak 3.: Dopuni sljedeće zapise ako želimo da funkcija:
a) svakom broju pridružuje 5 puta veći broj f (x) = 5 ∙ x ili f (x) = 5 x b) svakom broju pridružuje za 7 veći broj f (x) = x + 7 c) svakom broju pridružuje 3 puta manji broj __ x 3 f (x) = d) svakom broju pridružuje isti taj broj f (x) = x e) svakom broju pridružuje suprotni broj f (x) = -x f) svakom broju pridružuje broj 8 f (x) = 8

21 Primjer 5.: h (x) = 2x - 7 Zadana je funkcija: Kako to čitamo?
ha od x jednako je 2x-7

22 Primjer 5.: h (x) = 2x - 7 Zadana je funkcija:
Izračunajmo što funkcija h pridružuje brojevima -1, 3 i 5 . Dakle, trebamo izračunati h(-1) , h(3) i h(5) . Krenimo od h(-1) ! Da bismo izračunali h(-1) , trebamo koristiti pravilo pridruživanja. U njega umjesto x uvrstimo -1 ! h (-1) = 2 ∙ (-1) - 7 I u nastavku umjesto x uvrstimo -1, a sve ostalo redom prepišimo ! h (-1) = -2 - 7 h (-1) = -9 Time smo izračunali što ova funkcija pridružuje broju -1 . Pridružuje mu broj -9 !

23 Primjer 5.: h (x) = 2x - 7 Zadana je funkcija:
Izračunajmo što funkcija h pridružuje brojevima -1, 3 i 5 . Dakle, trebamo izračunati h(-1) , h(3) i h(5) . Krenimo od h(-1) ! Da bismo izračunali h(-1) , trebamo koristiti pravilo pridruživanja. h (-1) = 2 ∙ (-1) - 7 Sad izračunajmo h(3) ! h (3) = 2 ∙ 3 - 7 h (5) = 2 ∙ 5 - 7 h (-1) = -2 - 7 Opet krećemo od pravila pridruživanja. Sad u njega umjesto x uvrstimo 3. h (3) = 6 - 7 h (5) = 10 - 7 h (-1) = -9 h (3) = -1 h (5) = 3

24 osnovne stvari o funkcijama i da ćeš nakon ove prezentacije
Nadam se da si shvatio osnovne stvari o funkcijama i da ćeš nakon ove prezentacije s lakoćom rješavati zadatke!

25 Autorica prezentacije:
Antonija Horvatek travanj 2007.