Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina Teorija konstrukcija 2 V. prof. dr Ratko SALATIĆ Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina

STABILNOST KONSTRUKCIJA Sadržaj poglavlja UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA STABILNOST ŠTAPA METOD POČETNIH PARAMETARA INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK METOD KONAČNIH ELEMENATA 4

INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK Integro-diferencijalna jednačina štap promenljivog poprečnog preseka promenljiva aksijalna sila

INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK Integro-diferencijalna jednačina

INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK Integro-diferencne jednačine NUMERIČKA DISKRETIZACIJA

INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK Integro-diferencne jednačine APROKSIMACIJA - PRVA Diferencijali se zamenjuju konačnim razlikama.

INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK Integro-diferencne jednačine APROKSIMACIJA - DRUGA Podeljeno opterećenje se zamenjuje ekvivalentnim sistemom koncentrisanih sila. Koncentrisane sile određuju se iz uslova da su momenti savijanja u izabranim tačkama usled zadatog podeljenog opterećenja jednaki momentima usled koncentrisanih sila.

INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK Integro-diferencne jednačine APROKSIMACIJA - TREĆA Integrali se zamenjuju sumama.

INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK Integro-diferencne jednačine  BROJ JEDNAČINA n+1 – u svakoj izabranoj tački i=0,1,2, ... n 2 konturna uslova na svakom kraju štapa Integro-diferencne jednačine su algebarske jednačine. n+5 BROJ NEPOZNATIH n+1 – nepoznatih pomeranja u svakoj pomeranje u tačkama -1 i n+1 Nepoznate sile Mi i Vi n+5

INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK Konturni uslovi SLOBODAN KRAJ

INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK Konturni uslovi SLOBODNO OSLONJEN KRAJ

INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK Konturni uslovi UKLJEŠTEN KRAJ

INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK Problem stabilnosti  Dobija se homogen sistem linearnih algebarskih jednačina

STABILNOST KONSTRUKCIJA Sadržaj poglavlja UVOD U STABILNOST KONSTRUKCIJA STABILNOST ŠTAPA METOD POČETNIH PARAMETARA INTEGRO-DIFERENCNI POSTUPAK METOD KONAČNIH ELEMENATA 5

METOD KONAČNIH ELEMENATA Tradicionalne metode proračuna  Problem Teorije konstrukcija (problem mehanike deformabilnog tela) − Rešavanje graničnog (konturnog) problema mehanike kontinuuma. Diferencijalno mali element Domen Uslovi na konturi

METOD KONAČNIH ELEMENATA Pretpostavke proračuna tradicionalnih metoda Uspostavljaju se osnovne relacije između geometrijskih i fizičkih veličina na elementu diferencijalno malih dimenzija. Usvaja se pretpostavka neprekidnosti funkcija. Zavisnosti između srednjih vrednosti ovih veličina diferencijalno malog elementa proširuju se na ceo domen. Dobijene jednačine su diferencijalne jednačine (obične ili parcijalne), odnosno integralne ili integro-diferencijalne jednačine.

METOD KONAČNIH ELEMENATA Pretpostavke proračuna tradicionalnih metoda Utvrđuju se konturni (granični) i inicijalni (početni) uslovi. Dobijenom jednačinom i graničnim, odnosno inicijalnim uslovima, definisan je granični problem. Rešenja graničnog problema mogu biti tačna dobijena u zatvorenom obliku ili približna rešenja zasnovana na matematičkoj diskretizaciji jednačina graničnog problema. Približnim rešenjem problem se svodi na polje algebre, tj. rešavanje sistema linearnih algebarskih jednačina.

METOD KONAČNIH ELEMENATA Model, mreža MKE Nepoznate u čvoru Konačni element Čvor

METOD KONAČNIH ELEMENATA Karakteristike Savremena metoda numeričke analize, metoda diskretne analize. Jednostavna matematička formulacija i matematički aparat za rešavanje graničnog problema. Osnov za razmatranje problema (umesto diferencijalno malog elementa) je deo domena konačnih dimenzija, poddomen, koji se naziva konačni element. Poddomen, konačni element, ima ista svojstva kao i domen, metoda je zasnovana na fizičkoj diskretizaciji problema. Funkcije pomoću kojih se opisuje stanje u pojedinim konačnim elementima su obične algebarske jednačine.

METOD KONAČNIH ELEMENATA Karakteristike Domen sa beskonačno mnogo stepeni slobode (parametara) zamenjen je diskretnim modelom međusobno povezanih konačnih elemenata sa konačnim brojem stepeni slobode (parametara). Usvaja se pretpostavka da su konačni elementi povezani u konačnom broju tačaka, čvorovima modela. Potrebno je definisati izbor diskretnog modela i izbor nepoznatih (stepena slobode) koji mogu da opišu odgovarajući konturni problem. Uslov za primenu metode je bio razvoj računarske tehnike (mogućnost rešavanja velikih sistema jednačina).

METOD KONAČNIH ELEMENATA Postupak Razmatrani domen (nosač) se deli na konačan broj poddomena (konačnih elemenata)  formiranje mreže konačnih elemenata. Izbor konačnog broja parametara (nepoznatih veličina) u čvorovima za opisivanje razmatranog problema. Izbor interpolacionih funkcija N za opisivanje stanja u svakom elementu pomoću usvojenih nepoznatih veličina u čvorovima konačnog elementa. Uvrđivanje parametara na konturi domena. Određivanje čvornog opterećenja. Formiranje matrice sistema i vektora slobodnih članova, odnosno uslovnih jednačina. Rešavanje sistema uslovnih (algebarskih) jednačina, određivanje nepoznatih parametara.

METOD KONAČNIH ELEMENATA Interpolacione funkcije

METOD KONAČNIH ELEMENATA Interpolacione funkcije

METOD KONAČNIH ELEMENATA Greške (aproksimacije) 1: Greška aproksimacije domena modelom 2: Greška aproksimacije konturnih uslova 3: Greška pri izboru interpolacionih funkcija

METOD KONAČNIH ELEMENATA Primena MKE na linijske nosače

METOD KONAČNIH ELEMENATA Matrica krutosti štapa

METOD KONAČNIH ELEMENATA Elementi matrice krutosti štapa

METOD KONAČNIH ELEMENATA Elementi matrice krutosti štapa

METOD KONAČNIH ELEMENATA Interpolacione funkcije štapa

METOD KONAČNIH ELEMENATA Matrica krutosti štapa PRIBLIŽNO REŠENJE – GEOMETRIJSKA MATRICA KRUTOSTI Oblik ove matrice, koji se zasniva na rešenju diferencijalne jednačine linearne teorije štapa. Primenom rešenja teorije prvog reda traži se rešenje teorije drugog reda → rešenje je približno (aproksimativno).

METOD KONAČNIH ELEMENATA Približno rešenje – Geometrijska matrica krutosti Varijacioni postupak se zasniva na stavu o stacionarnosti potencijalne energije nosača. (Potencijalna energija nosača ima minimum.)  Potencijalna energija nosača jednaka je zbiru unutrašnje energije (deformacionog rada) i potencijalu generalisanih sila u čvorovima nosača. Potencijal generalisanih sila jednak je negativnom radu generalisanih sila.

METOD KONAČNIH ELEMENATA Približno rešenje – Geometrijska matrica krutosti

METOD KONAČNIH ELEMENATA Približno rešenje – Geometrijska matrica krutosti Potencijal generalisanih sila Unutrašnja energija (deformacioni rad)

METOD KONAČNIH ELEMENATA Približno rešenje – Geometrijska matrica krutosti Potencijalna energija

METOD KONAČNIH ELEMENATA Približno rešenje – Geometrijska matrica krutosti

METOD KONAČNIH ELEMENATA Matrica krutosti štapa

STABILNOST LINIJSKIH SISTEMA Problem stabilnosti

METOD KONAČNIH ELEMENATA Vektor ekvivalentmog čvornog opterećenja

METOD KONAČNIH ELEMENATA P - Delta efekat Karakteristike Primena na ortogonalnim okvirima Geometrijska nelinearnosti razmatra se modifikovanjem linearne analize Uslovi ravnoteže postavljaju na nedeformisanom sistemu, vodeći računa P-Δ Linearizovan postupak,rešenje se dobija bez iteracija Pretpostavka poznatih vertikalnih sila, koje se ne menjaju tokom deformacije i relativno malom pomeranju u odnosu na visinu objekta

METOD KONAČNIH ELEMENATA P - Delta efekat Matrica nije simetrična

METOD KONAČNIH ELEMENATA P - Delta efekat Ukupno vertikalno opterećenja iznad čvora i Matrica je simetrična

METOD KONAČNIH ELEMENATA P - Delta efekat ekvivalentni spreg horizontalnih sila veza između transverzalnih sila i pomeranja usled rotacije štapa (sa sprečenim rotacijama krajeva) Momenti inercije fiktivnih vertikalnih elemenata Ako se realnom statičkom sistemu dodaju fiktivni vertikalni elementi (sa negativnom krutošću) - problem se može rešiti i u okviru linearne analize.