Предавања 2 мр Наташа Папић-Благојевић

Презентација на тему: "Предавања 2 мр Наташа Папић-Благојевић"— Транскрипт презентације:

1 Предавања 2 мр Наташа Папић-Благојевић
АКТУАРСТВО Предавања 2 мр Наташа Папић-Благојевић

2 АКТУАРСКЕ ОСНОВЕ ОСИГУРАЊА
Актуарска математика личног осигурања - обрачун тарифа животног осигурања. Актуарска математика имовинског осигурања - обрачун тарифа имовинског осигурања. Рачуни актуарске математике зависе од старости лица. Рачуни финансијске математике су независни од живота и старости лица.

3 Закон великих бројева ЗВБ је основни закон у теорији вероватноће и статистици. Уколико се посматра велики број случајева, уочавају се одређене правилности у наступању једног догађаја. Законитост се испољава само у маси случајева и није видљива код појединачних јединица од којих је маса састављена, нити делује код малих група.

4 Деловање Закона великих бројева најбоље илуструју примери из експеримената који су вршени у сврху проучавања везаних за овај закон. Пример 1. Вршени су експерименти бацања новчића и праћења појаве грба на горњој страни, при сваком бацању. Резултате експеримента показује следећа табела: Истраживач Број бацања Појава грба Релативна учесталост Буфон 4.040 2.048 0,50693=50,963% К.Пирсон 12.000 6.019 0,50158=50,158% 24.000 12.012 0,5005=50,05% Број појављивања грба тежи ка ½=50%

5 Пример 2. Вршени су експерименти бацања коцкице и праћења појаве броја 1 на горњој страни, при сваком бацању. Резултате експеримента показује следећа табела: Број бацања Бр.појављивана броја 1 Релативна учесталост 50 5 0,1=10% 100 13 0,13=13% 500 88 0,176=17,6% 1.000 159 0,159=15,9% 5.000 822 0,1644=16,44% Број појављивања броја 1 тежи ка 1/6=0,16≈16,67%

6 Значај ЗВБ у осигурању За осигуравача не постоји неизвесност за укупан број покривених ризика него правилност и законитост. Са већим бројем осигураних предмета у маси је већа могућност тачнијег предвиђања будућих осигураних случајева, а тиме и будућих обавеза, на основу чега се одређују средства за њихово покриће.

7 Теорија вероватноће Теорија вероватноће представља математичко-статистичку основу савременог осигурања, а заједно са ЗВБ је одиграла кључну улогу у развоју модерног осигурања. Несрећни случајеви се више не сматрају судбински предоређеним и непредвидивим, већ се на њих гледа као на појаве које се могу предвиђати. Степен вероватноће настајања осигураног случаја је елеменат који одређује цену ризика.

8 Догађај- дефинише се као резултат неког експеримента или опсервације.
Ω - скуп могућих исхода ωi (i =1,…n) - елементарни догађаји, елементи скупа Ω Случајни догађаји - догађаји који могу, а не морају настати у датом експерименту (А, B, C, ....) А   Сигурни догађаји - догађаји који морају настати у датом експерименту; у скупу Ω сви елементи имају могући исход. Немогући догађаји - догађаји који се не могу реализовати у датом експерименту; празан скуп (∅) је немогућ догађај. Израчунавање вероватноће наступања штетних догађаја у осигурању је основа за одређивање премија осигурања.

9 Класична дефиниција вероватноће (вероватноћа a priori)
Своди појам вероватноће на појам једнако могућих догађаја, који се сматра основним појмом. 𝑃 𝐴 = 𝑚 𝑛 m – број повољних реализација догађаја А n – број могућих резултата неког експеримента Пример 3. Ако бацамо правилну коцку, скуп могућих резултата су бројеви Ω={1,2,3,4,5,6}. Одредити вероватноћу појаве броја 4. Решење: Вероватноћа догађаја А је: 𝑃 𝐴 = 1 6

10 Основне особине класичне вероватноће:
𝑷 𝑨 ≥𝟎, вероватноћа било ког догађаја је ненегативан број, па разломак 𝑚 𝑛 никада не може бити негативна вредност. 𝑷 𝑨 =𝟎, ако је m= 0, догађај је немогућ. 𝑷 𝑨 =𝟏, ако је догађај А поуздан, тада је m= n. Вредност класичне вероватноће налази се у границама: 𝟎≤𝑷 𝑨 ≤𝟏 Вероватноћа супротног догађаја 𝑃 𝐴 , чита се нон А, једнака је: 𝑷 𝑨 =𝟏−𝑷 𝑨 =𝟏− 𝒎 𝒏

11 Емпиријска вероватноћа (вероватноћа a posteriori)
Вероватноћа случајних догађаја везаних за експерименте које можемо понављати неограничен број пута при неизмењеним условима назива се емпиријска вероватноћа. Дефинишемо их преко граничне вредности: 𝑃 𝐴 = lim 𝑁→∞ 𝑓 𝑖 𝑁 fi – број експеримената у којима се реализовао догађај А; N – број понављања експеримента.

12 Вероватноћа више догађаја
Појам вероватноће више догађаја обухвата разне начине израчунавања вероватноће дешавања једног или више догађаја у скупу могућих догађаја. Догађаји могу да буду међусобно зависни или независни. Могуће је и да се међусобно искључују, дешавају истовремено или један после другог.

13 У ову групу вероватноћа сврставају се:
Условна вероватноћа Збирна вероватноћа Тотална вероватноћа Сложена вероватноћа Бајесова вероватноћа

14 Условна вероватноћа У пракси се често јавља проблем одређивања вероватноће догађаја А, под условом да се реализовао догађај В. Такве вероватноће називамо условним вероватноћама и обележавамо их са Р(А/В), а читамо: вероватноћа догађаја А, под условом да се реализовао догађај В.

15 Дефиниција. Ако су А и В догађаји, условна вероватноћа се дефинише са:

16 Р(АВ) = Р(ВА)= Р(А) Р(ВА) = Р(В) Р(АВ)
Дефиниција. Нека су А и В два догађаја. Вероватноћа производа (или пресека) два догађаја може се добити помоћу условних вероватноћа: Р(АВ) = Р(ВА)= Р(А) Р(ВА) = Р(В) Р(АВ) Ова релација је позната као правило или закон множења вероватноћа и може се проширити и на више од два догађаја.

17 Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Збирна вероватноћа Вероватноћа збира два догађаја А и В једнака је збиру вероватноћа тих догађаја, умањеном за вероватноћу њиховог заједничког јављања. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

18 Статистичка независност догађаја
Jедан од основних појмова теорије вероватноће и математичке статистике јесте стохастичка или статистичка независност. Дефиниција. Ако су А и В два догађаја, за ове догађаје се каже да су статистички независни ако и само ако је вероватноћа њиховог производа једнака производу њихових вероватноћа: Р(АВ) = Р(А)Р(В)

19 Бајесова теорема Бајесова формула. Ако су А1,А2,...,Аn, међусобно искључиви догађаји и ако је В неки други догађај, Бајесова теорема гласи:

20 На основу формуле потпуне вероватноће:
именилац се може проширити, па се добија:

21 Литература: Вугделија, Д. (2008) Актуарска математика, основни концепт за наставу, Суботица. Ивковић, З. (1992) Математичка статистика, Научна књига, Београд. Кочовић, Ј. (2006) Актуарске основе формирања тарифа у осигурању лица, ЦИД Економског факултета у Београду. Рачић, С. и Савковић, М. (2004) Статистика, Виша пословна школа, Нови Сад. Рашета, Ј. (2008) Финансијска и актуарска математика, Универзитет Сингидунум, Београд. Шекарић М. и Барјактаровић, Л. (2010) Финансијска математика и актуарство, скрипта, Универзитет Сингидунум, Београд.