Nelinearni efekti usled konačnog broja bita Ako se ukine pobudni signal u stabilnom IIR sistemu, izlaz bi trebalo da asimptotski opada ka nuli Međutim, ako se u realizaciji za predstavljanje signala i koeficijenata koristi konačan broj bita, izlaz može oscilovati ili imati konstantu vrednost koja nije nula Ovaj efekat se zove granični ciklus pri nultoj pobudi Posledica nelinearnih pojava kod kvantovanja proizvoda i prekoračenja opsega kod sabiranja Teško za opštu analizu, zato Linearni modeli nelinearnih pojava, ili Egzaktna analiza prostih sistema

Granični ciklusi zbog kvantovanja proizvoda Prilikom analize kvantovanja proizvoda greška kvantovanja je predstavljana kao sekvenca koja predstavlja aditivni beli šum. Međutim, kada je nivo signala u kolu mali i zauzima samo nekoliko susednih kvantizacionih nivoa (kada nema pobude), tada ne važe tvrdnje: Sekvenca grešaka nije korelisana sa signalom koji se množi Sekvenca grešaka jednog množača nije korelisana sa sekvencom grešaka bilo kog od ostalih množača Sistem počinje da se ponaša nelinearno.

Granični ciklusi zbog kvantovanja proizvoda Sistem prvog reda, diferencna jednačina Ako se proizvod zaokružuje pre sabiranja Neka se koristi sistem sa fiksnom tačkom (1.3), i Izlaz se zaustavlja na konstantnoj vrednosti Ovo je granični ciklus

Granični ciklusi zbog kvantovanja proizvoda Ako se uzme za vrednost koeficijenta Izlaz osciluje, uzima dve vrednosti, 0.125 i –0.125 U oba primera je stabilan sistem postao nestabilan zbog kvantovanja proizvoda Vrednosti signala u graničnom ciklusu zovemo mrtve zone.

Granični ciklusi zbog kvantovanja proizvoda Nestabilnost sistema odgovara pomeranju pola sistema na jedinični krug. Ovom interpretacijom graničnog ciklusa mogu se dobiti opšti rezultati za sisteme prvog i drugog reda Sistem I reda, greška kvantizacije zaokruživanjem U graničnom ciklusu očigledno važi

Granični ciklusi zbog kvantovanja proizvoda Opseg vrednosti koeficijenata za koji važi Ako je nema graničnog ciklusa Ako je , izlaz će bez pobude ili da opadne do vrednosti ili će da osciluje između i sa učestanošću jednakom polovini učestanosti odabiranja

Granični ciklusi zbog kvantovanja proizvoda Sistem II reda Ako je , funkcija prenosa ima kompleksne polove. Sistem postaje nestabilan ako je Ako se proizvod kvantuje pre sabiranja nova dif. Jednačina Kod sistema II reda dva tipa graničnog ciklusa Prvi tip analogan sistemu I reda, izlaz ili konstantan, ili osciluje između dve vrednosti

Granični ciklusi zbog kvantovanja proizvoda Iz diferencne jednačine, uz x[n] =0, se dobija amplituda oscilacija Mnogo parova koeficijenata zadovoljava ovu jednačinu Potreban, ne i dovoljan uslov za postojanje graničnog ciklusa

Granični ciklusi zbog kvantovanja proizvoda Kod drugog tipa prave sinusoidalne oscilacije, jer se konjugovano kompleksni polovi pomeraju na jedinični krug. Za kvantizaciju proizvoda zaokruživanjem: Polovi sistema na jediničnom krugu ako Sledi

Granični ciklusi zbog kvantovanja proizvoda Zaključak: Ako je ulazni signal nula, i pripada određenom opsegu, polovi se pomeraju na jedinični krug. Učestanost oscilacija određena koeficijentom racionalni umnožak učestanosti odabiranja

Granični ciklusi zbog kvantovanja proizvoda Prethodna analiza za kvantovanje zaokruživanjem Ako se koristi kvantovanje odsecanjem mogu se eliminisati granični ciklusi u velikom broju slučajeva, ali odsecanje proizvodi korelisani šum i veću snagu šuma. Granični ciklus se može izbeći podešavanjem vrednosti koeficijenata, ili izborom strukture. Ako se poveća broj bita za predstavljanje signala i koeficijenata, moguće je smanjiti amplitudu g. ciklusa na neki prihvatljiv nivo

Granični ciklusi zbog kvantovanja proizvoda Postoje u literaturi brojne formule Primenjive za paralelne relizacije višeg reda Nije jednostavno kod kaskadnih realizacija, samo prva sekcija ima ulaz nula Postoji i tehnika akumulatora dvostruke dužine Parcijalne sume se računaju sa dvostrukom dužinom reči, kvantovanje tek na kraju Ponekad je granični ciklus dobar Digitalni sinusoidalni oscilatori Generatori koeficijenata za DFT

Granični ciklusi zbog prekoračenja opsega pri sabiranju U sistemima za DOS najčešće se koristi 2C, sa uobičajenom normalizacijom na opseg Ako su oba sabirka istog znaka i po modulu su veći od 0.5 ipak dolazi do prekoračenja Vidi se da je greška usled prekoračenja drastična, i prekoračenje opsega se mora sprečiti

Granični ciklusi zbog prekoračenja opsega pri sabiranju Primer sistem II reda sa fiksnom tačkom (1.3) Računanje skraćivanjem proizvoda na četiri bita i sabiranjem po pravilima 2C a trebalo bi dalje još dalje, sistem osciluje između 0.75 i –0.75 sa periodom dvostruko većom od periode odabiranja

Granični ciklusi zbog prekoračenja opsega pri sabiranju U ovom primeru sistem osciluje zbog prekoračenja opsega prilikom sabiranja Potreban i dovoljan uslov da se ne pojavi granični ciklus usled prekoračenja opsega pri sabiranju je Strog uslov, teško ga zadovoljiti; umesto toga se koristi sabiranje sa zasićenjem koje sprečava granični ciklus. Greška mnogo manja a svakako se prekoračenje retko javlja

Granični ciklusi zbog prekoračenja opsega pri sabiranju Granični ciklus ne postoji kod FIR sistema, jer nema povratne sprege

Uticaj konačne dužine reči na izračunavanje DFT Analiza veoma složena, zbog samog načina računanja DFT – zato uprošćavanja (uglavnom linearizacija nelinearnih efekata) Uticaj konačne dužine reči se pokazuje na dva načina Približno računanje sinusa i kosinusa (slično kvantovanju koeficijenata kod filtarskih struktura) Kvantovanje proizvoda (šum na izlazu)

Uticaj kvantovanja proizvoda na direktno računanje DFT Kompleksno množenje obično preko 4 realna množenja Ako je kvantovanje posle svakog množenja, u blok dijagram DFT svako kompleksno množenje unosi 4 izvora šuma Izraz za DFT sličan konvoluciji, pa se DFT ponaša slično FIR filtru što se tiče izlaznog šuma, samo je 4 puta više izvora šuma.

Uticaj kvantovanja proizvoda na direktno računanje DFT Kada se koristi fiksna tačka i kvantovanje proizvoda pre sabiranja, šum kvantovanja na izlazu Kada je kvantovanje posle sabiranja proizvoda (duplo širi akumulator), N=1 Potrebno je voditi računa da ne dođe do prekoračenja dinamičkog opsega Ako je ulazni signal normalizovan,

Uticaj kvantovanja proizvoda na direktno računanje DFT Prekoračenja nema ako je , odnosno (dovoljan uslov) Dovoljno podeliti ulaznu sekvencu sa N Ovaj uslov nije i potreban i često je previše strog Primer sekvenca sa DFT Ako je nejednakost nije zadovoljena a ipak nema prekoračenja opsega

Uticaj kvantovanja proizvoda na direktno računanje DFT Ako se posmatra ulazni beli šum u opsegu (posle skaliranja) Varijansa ulaza je Varijansa izlaza je S/N na izlazu je

Uticaj kvantovanja proizvoda na direktno računanje DFT Skaliranje smanjuje S/N N puta, a kombinacija skaliranja i grešaka kvantovanja N2 puta Ozbiljno smanjenje Npr. 1024 odbiraka i želi se S/N od 30dB, dobija se da je potrebna tačnost množenja i sabiranja čak 15 bita Ponekad umesto skaliranja samo zahtev Tada potreban dovoljan dinamički opseg sabirača jer Varijansa ulaza Varijansa izlaza S/N na izlazu

Uticaj kvantovanja proizvoda na direktno računanje DFT Sada, za 1024 odbiraka i S/N od 30dB, potrebno svega 5 bita, uz dodatnih 10 bita u akumulatorima zbog dinamičkog opsega Ali množači petobitni! Sve u svemu, rešavanje prekoračenja opsega kod direktnog računanja DFT Skaliranje ulazne sekvence sa N, što smanjuje S/N Akumulator sa dodatnim brojem bita levo od tačke Blokovska aritmetika sa pokretnim tačkom (deljenje svih podataka sa dva kada se pojavi prekoračenje, i pamćenje broja deljenja radi korekcije na kraju) Aritmetika sa pokretnom tačkom (najbolje)

Uticaj kvantovanja proizvoda kod FFT algoritama Opšta analiza teška, jer su algoritmi različiti Na osnovu analize brzih algoritama sledi da se DFT sekvence velike dužine svodi na više DFT sekvenci manje dužine Zato efekti kod sekvenci manje dužine i generalizacija Primer efekti kvantovanja kod algoritma za FFT preuređivanjem ulazne sekvence (DIT FFT) U svakom stepenu se vektor od N elemenata računa na osnovu vektora od N elemenata iz prethodnog stepena

Uticaj kvantovanja proizvoda kod FFT algoritama Računanje elemenata vektora u parovima, leptir operacijom. Za svaki izlazni odbirak potrebno N/2 leptira u prvom stepenu, N/4 leptira u drugom stepenu... u poslednjem stepenu samo 1 leptir Broj leptira za jedan izlazni odbirak je

Uticaj kvantovanja proizvoda kod FFT algoritama U svakom leptiru jedno kompleksno, tj 4 realna množenja. Ukupan broj množenja za jedan odbirak je 4(N-1) Položaj množača je različit, greške propagiraju različito Rotacioni faktori koji množe signale ne utiču na statistiku grešaka kvantovanja zbog jedinične amplitude. Ako su izvori šuma kvantovanja nekorelisani, varijansa ukupne greške kvantovanja na izlazu je

Uticaj kvantovanja proizvoda kod FFT algoritama Isti rezultat kao kod direktnog računanja DFT! Za računanje jednog odbirka i kod direktnog i kod brzog računanja isti broj množenja, ali se kod FFT neka množenja koriste više puta Problem prekoračenja opsega je vrlo ozbiljan kada je broj odbiraka (stepeni izračunavanja) veliki.

Uticaj kvantovanja proizvoda kod FFT algoritama Ako se ulazni signal skalira deljenjem ulaza sa N prekoračenje se sprečava jer je . Važe isti izrazi za šum kao i kod direktnog računanja DFT za beli šum na ulazu Odnos signal šum opada sa N2, odnosno 1 bit po stepenu – za duplo više odbiraka potrebna reč duža za 1 bit za isto S/N. Važi i ako ulaz nije beli šum. Nema smisla koristiti AU dvostruke dužine zbog računanja po stepenima i smeštanja skraćenih međurezultata u memoriju

Uticaj kvantovanja proizvoda kod FFT algoritama Kod brzih algoritama postoje bolji načini skaliranja u smislu S/N Dva sukcesivna stepena m-1 i m kod DIT FFT Leptiri u m-tom stepenu Odozgo se dobijaju nejednakosti

Uticaj kvantovanja proizvoda kod FFT algoritama Na osnovu nejednakosti, ideja je da se ukupni faktor skaliranja 1/N distribuira po stepenima FFT algoritma Ako je u prvom stepenu može da se skalira sa 0.5 da bude Ako u svakom stepenu skaliramo sa 0.5, ukupan faktor skaliranja je Ovo potpuno eliminiše prekoračenje opsega u FFT. Amplituda izlaza je ista kao kod skaliranja sa 1/N, ali smanjuje varijansu šuma kvantovanja na izlazu Svako množenje sa 0.5 smanjuje ovu varijansu 4 puta.

Uticaj kvantovanja proizvoda kod FFT algoritama Greške kvantovanja iz prvog stepena (ima ih ) smanjuju se puta, greške iz drugog stepena (ima ih ) smanjuju se puta itd Ukupna varijansa greške kvantovanja na izlazu FFT je

Uticaj kvantovanja proizvoda kod FFT algoritama Varijansa greške kvantovanja sada ne zavisi od N Odnos signal – šum Bolji nego kada skaliranje nije raspodeljeno. Za zadati odnos signal – šum, novi stepen računanja (duplo veći broj odbiraka) zahteva dužinu reči veću za 0.5 bita. Za DFT od 1024 odbiraka i S/N od 30dB se dobija da je potrebno 11 bita, 4 manje nego kada je skaliranje na ulazu

Uticaj kvantovanja proizvoda kod FFT algoritama Još jedan pristup skaliranju je blokovska aritmetika sa pokretnom tačkom Ulazni odbirci se normalizuju da bude i svi imaju isti eksponent Svi leptiri se rade u aritmetici sa fiksnom tačkom i proverom prekoračenja opsega Kada se pojavi prekoračenje celi vektor se podeli sa 2 Tako do kraja, kada se na izlazu radi kompenzacija deljenja Ovaj metod daje oko 3dB bolji rezultat, ali zavisi od ulaza

Uticaj kvantovanja proizvoda kod FFT algoritama i aritmetike sa pokretnom tačkom Kako prekoračenje opsega praktično ne postoji kod aritmetike sa pokretnom tačkom, karakteristike FFT sa pokretnom tačkom su bolje Izbegava se skaliranje S/N je inverzno proporcionalan sa Za 4 puta veće p (sekvenca dužine N4) potreban je samo jedan dodatni bit

Uticaj kvantovanja koeficijenata kod FFT algoritama Do sada smatrano da su vrednosti rotacionih faktora tačne Nije tako jer su u pitanju sinus i kosinus Iako je priroda grešaka nestatistička, koristi se statistička analiza Svaki koeficijent = tačna vrednost uz dodatak aditivnog belog šuma S/N na izlazu približno , opada vrlo sporo sa povećanjem dužine sekvence Ako se koristi aritmetika sa pokretnom tačkom dodatno smanjenje šuma oko 4 puta