Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu! Zavod za unapređivanje obrazovanja i vaspitanja Autor rada: Nastavni predmet: Tема: Uzrast: Potrebna tehnologija: Tanja Radaković, ЕТŠ” Mihajlo Pupin”, Novi Sad. Matematika Površina i zapremina obrtnih tela Treći razred Računar i projektor Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu!

Zadatak 1 Pravougli trougao sa katetama a i b rotira oko prave koja sadrži teme pravog ugla i paralelna je hipotenuzi. Izračunati P i V tako nastalog tela.

Vvaljka Vv.kupe Vmale kupe = Vtela Vv.kupe Vvaljka Vmale kupe r B B1 h1 a Vv.kupe c H = c C Vmale kupe C1 h2 b A A1 = Vtela r H Vvaljka r h1 h2 Vv.kupe Vmale kupe

Vv.kupe Vvaljka Vmale kupe

a∙b 2 c∙hc = P∆= => hc = => r = c poluprečnik ? POVRŠINA OBRTNOG TELA: P = MVALJKA + MVELIKE KUPE + M MALE KUPE P = 2r πH + r πs1 + r πs2 P = π c + π a + π b P = π ( a + b + c) a∙b c ZAPREMINA OBRTNOG TELA: V = VVALJKA - VVELIKE KUPE - VMALE KUPE V = r²π H - - V = r²πh1 3 r²πh2 2r²πH 2a²b²π 3c

Zadatak 2 Kvadrat stranice a=18cm obrće se oko prave koja se nalazi u ravni kvadrata, prolazi kroz jedno njegovo teme i paralelna je sa dijagonalom koja ne prolazi kroz to teme. Izračunati P i V dobijenog obrtnog tela.

B B1 AC = r1 , DD1 = r2 2 A C1 C A1 D D1

POVRŠINA OBRTNOG TELA: P = 2 M ZARUBLJENE KUPE + 2 M KUPE P = 2 ( r1 + r2 )π∙a + 2r1π∙a P = 2∙27√2 ∙18π + 2∙9√2 ∙18π P = 1296√2∙π ZAPREMINA OBRTNOG TELA: V = 2 V ZARUBLJENE KUPE - 2 V KUPE V = 2∙ π∙r1 ( r1² + r1r2 + r2² ) - 2∙ r1²π∙r1 V = 6√2π ( 162 + 324 + 648 ) - 6√2π∙162 V = 5832√2π 1 2

Zadatak 3 Pravilan šestougao površine 24 3 cm2 rotira oko jedne stranice. Izračunati P i V dobijenog tela.

B B1 C A C1 A1 F D1 D F1 E E1

Stranica šestougla ? 24√3 = 6a²√3 4 => a = 4 POVRŠINA OBRTNOG TELA: P = MVALJKA +2MVELIKE KUPE+2MMALE KUPE P = 2∙2rπ∙a + 2(2r + r)π∙a + 2rπ∙a P = 6a²√3 π = 96√3π ZAPREMINA OBRTNOG TELA: V = VVALJKA + 2VZARUBLJENE KUPE – VKUPE V = (2r)²π∙a + 2∙ a ∙ π( (2r)² + 2r∙r + r² ) – 2r² π∙ a V = 6r²π∙a = 228π 2 3

Zadatak 4 Dijagonale trapeza su normalne na njegove krake. Izračunati P i V tela koje nastaje rotacijom trapeza oko jednog kraka ako su osnovice 3cm i 5cm

POVRŠINA OBRTNOG TELA: P = M VELIKE KUPE + MZARUBLJENE KUPE + MMALE KUPE P = ( 68√5 +16 )π 5 ZAPREMINA OBRTNOG TELA: V = V VELIKE KUPE + VZARUBLJENE KUPE - VMALE KUPE V = 196√5π 5

Zadatak 5 Romb čije su dijagonale 7cm i 24cm rotira oko visine koja prolazi kroz centar romba. Izračunati P i V tako nastalog tela.

D1 D A1 A E E1 C C1 B1 B

POVRŠINA OBRTNOG TELA: P = 2B + 2M P = 487,5458π ZAPREMINA OBRTNOG TELA: V = 2VZARUBLJENE KUPE V = 546,05π

Test zadatak Jednakokraki trougao čiji je krak b=2, a ugao između krakova α=30, rotira oko tangente kruga opisanog oko trougla, pri čemu je tangenta paralelna visini osnovice. Izračunati zapreminu V tako nastalog tela.

V = 8π cos15 o

DOMAĆI ZADATAK: Jednakostranični trougao stranice 6 cm rotira oko prave koja sadrži jedno teme trougla i paralelna je : a) naspramnoj stranici b) visini iz drugog temena trougla. Izračunati P i V tako dobijenog tela. Pravougli trougao sa katetama 15 i 20 cm rotira oko prave normalne na hipotenuzu koja prolazi kroz teme većeg oštrog ugla. Izračunati P i V tako dobijenog tela.