Primena matričnog računa III nedelja Primena matričnog računa
Rešavanje sistema linearnih jednačina Neke metode: MATRIČNI METOD KRAMEROV METOD KRONEKER-KAPELIJEVA TEOREMA REŠAVANJE HOMOGENIH SISTEMA
Sistem tri jednačine sa tri nepoznate Neka je dat sistem:
MATRIČNI METOD Sistem se može predstaviti matričnom jednačinom:
MATRIČNI METOD Ova metoda se može koristiti u slučaju da matrica sistema A ima svoju inverznu matricu X =A-1 B
Primer Rešiti sistem matričnim metodom: Rešenje: Rešenje našeg sistema je trojka brojeva (1,2,3)
KRAMEROV METOD Ovaj metod se može koristiti u slučaju da je Polazni sistem jednačina ima jedinstveno rešenje dato Kramerovim formulama:
Primer Rešenje: Konačno:
KRONEKER-KAPELIJEVA TEOREMA Potrebno je uvesti i proširenu matricu Ap, tako što se matrica koeficijenata sistema proširi sa kolonom slobodnih članova:
•Ako je rang(A) < rang(Ap) sistem jednačina nema rešenja Rešenja sistema linearnih jednačina na osnovu Kroneker-Kapelijeve teoreme •Ako je rang(A) < rang(Ap) sistem jednačina nema rešenja •Ako je rang(A) = rang(Ap) sistem je saglasan i u zavisnosti od relacije sa brojem n (u našem slućaju n=3) mogu nastupiti dva slučaja: - rang (A) = rang (Ap) = n=3, tada sistem ima jedinstveno rešenje - rang (A) = rang (Ap) < 3, sistem ima beskonačno mnogo rešenja
Primer Rešiti sistem jednačina: Znači rang (A)=rang (Ap)=2 pa je sistem saglasan, ali nema jedinstveno rešenje. Iz prve dve jednačine dobijamo sistem
Homogeni sistem jednačina Sistem jednačina kod koga su slobodni članovi 0, zove se homogen sistem jednačina.
REŠAVANJE HOMOGENIH SISTEMA rang(A) = 3 detA≠0 =>R(S)=(0,0,0) Sistem ima samo trivijalna rešenja detA=0 (Rang(A)<3) => Sistem ima beskonačno mnogo rešenja
Primer Sistem: ima beskonačno mnogo rešenja jer je Opšte rešenje je: .
TEST 1. Izračunati A-1 za matricu 4. Rešiti sistem koristeći Kramerove formule: 2. Izračunati ako je 5. Rešiti sistem Matričnim metodom: 3. Rešiti matričnu jednačinu: a) gde je 6. Rešiti sistem: