Мр Оливера Васовић, дипл. инж. геод. РАЧУНСКЕ ВЕЖБЕ ИЗ ПРАКТИЧНЕ ГЕОДЕЗИЈЕ 1 Предметни наставник: Мр Оливера Васовић, дипл. инж. геод.

ПРЕТВАРАЊЕ УГЛОВА ИЗ ЈЕДНЕ УГЛОВНЕ ПОДЕЛЕ У ДРУГУ С обзиром да пун круг садржи: 2π радијана у лучној мери, 3600 у сексагезималној подели, односно 400g у градусној подели, претварање углова из једне угловне поделе у другу врши се на следеће начине:

Углу од једног радијана (ρ) у сексагезималној подели одговара угао од: претварање вредности угла α из лучне поделе (R) у сексагезималну поделу и обрнуто. односно: Углу од једног радијана (ρ) у сексагезималној подели одговара угао од:

Углу од једног радијана (ρ) у центезималној подели одговара угао од: претварање вредности угла α из лучне поделе (R) у градусну (центезималну) поделу и обрнуто. односно: Углу од једног радијана (ρ) у центезималној подели одговара угао од:

претварање вредности угла α из сексагезималне поделе у нову (центезималну) и обрнуто. односно:

НАПОМЕНА: Посебну пажњу, приликом коришћења наведених релација треба обратити на тачност рачунања. Број π, при рачунањима, треба заокружити на минимум 9 децималних места (π = 3.141592654). Посебно водити рачуна при претварању минута и секунди у делове степена, односно делове степена у минуте и секунде (ово се односи само на стару (сексагезималну) поделу).

ПРИМЕР: Дат је угао: Срачунати вредност угла α у радијанима и градусима. Решење:

ПРИМЕР: Дат је угао: Срачунати вредност угла β у сексагезималној подели. Решење:

ЈЕДИНИЦЕ ЗА МЕРЕЊЕ ДУЖИНА Мање јединице од метра су: дециметар (dm): 1 m = 10 dm центиметар (cm): 1 m = 100 cm = 102 cm милиметар (mm): 1m = 1000 mm = 103 mm микрометар (μm): 1m = 1 000 000 μm = 106 μm нанометар (nm) : 1m = 109 nm Већа јединица од метра је километар: 1km = 1000m.

ЈЕДИНИЦЕ ЗА МЕРЕЊЕ ДУЖИНА У неким деловима Србије (Војводина) употребљавао се хватски систем јединица за дужине, при чему важе следећи односи: 1 хват = 1,896484 m 1 хват = 6 стопа = 72 палца 1 стопа = 12 палаца= 0,31608 m = 31,6 cm 1 палац = 0,02634 m = 2,63 cm

ЈЕДИНИЦЕ ЗА МЕРЕЊЕ ДУЖИНА Стопа (foot, mn. feet) је јединица мере за дужину која је у употреби у Великој Британији, бившим енглеским колонијама и САД. Одређена је као просечна дужина људског стопала и њена величина варира од система до система. Данас је у употреби интернационална стопа (ft). Инч (inch) је мања јединица од стопе. Важи једнакост: 1 ft = 12 in 1 in = 0,0254 m = 2,54 cm 1 ft = 12 in = 0,3048 m =30,5 cm

ЈЕДИНИЦЕ ЗА МЕРЕЊЕ ПОВРШИНЕ У метарском систему, јединица за површине је КВАДРАТНИ МЕТАР (m2). Мање јединице од квадратног метра су: квадратни дециметар: 1 dm2 = 0.01 m2= 10-2 m2 квадратни центиметар: 1 cm2 = 0.0001 m2 = 10-4 m2 квадратни милиметар: 1 mm2 = 0.000001 m2 = 10-6 m2 Веће јединице од квадратног метра су: ар: 1 а = 100 m2 = 102 m2 хектар: 1 ha = 100 а =10 000 m2 =104 m2 квадратни километар: 1 km2 = 100 hа = 10 000 а =106 m2

ЈЕДИНИЦЕ ЗА МЕРЕЊЕ ПОВРШИНЕ У хватском систему, јединица за површину је КВАДРАТНИ ХВАТ и важе следећи односи: квадратни хват = 3,596712 m2 јутро или катастарско јутро = 8 мотика = 5754,7396 m2 (често се заокружује и на 5760 m2) мотика = 200 квадратних хвати = 719,34245 m2 ланац = 10 мотика = 7193,4245 m2

ТРИГОНОМЕТРИЈСКИ ОБРАЗАЦ БРОЈ 1 МЕРЕЊЕ ХОРИЗОНТАЛНИХ ПРАВАЦА - ГИРУСНА МЕТОДА - ТРИГОНОМЕТРИЈСКИ ОБРАЗАЦ БРОЈ 1 Контрола рачунања средњих вредности опажаних праваца Прва контрола рачунања сума колоне I положаја дурбина (колона бр. 3 записника) + сума колоне II положаја дурбина (колона бр. 4 записника) (сума I + сума II) / 2 = сума средина (колона бр. 5 записника)

ТРИГОНОМЕТРИЈСКИ ОБРАЗАЦ БРОЈ 1 МЕРЕЊЕ ХОРИЗОНТАЛНИХ ПРАВАЦА - ГИРУСНА МЕТОДА - ТРИГОНОМЕТРИЈСКИ ОБРАЗАЦ БРОЈ 1 Рачунање вредности редукованих праваца (аi) (ао) = ао - ао (а1) = а1 - ао (а2) = а2 - ао (аn) = аn - ао те сумирајући добијамо: ........................ (а) = а - nао односно а= (а) + nао Друга контрола рачунања

РЕШАВАЊЕ ТРОУГЛА А С В

Из синусне теореме, добијамо вредности страница а и b. ПОЗНАТА СТРАНИЦА И ДВА УГЛА НА ТОЈ СТРАНИЦИ - с, a, b. Трећи угао је: Из синусне теореме, добијамо вредности страница а и b. Контрола: b  cos + c  cos = a Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13

ПОЗНАТА СТРАНИЦА И ДВА УГЛА - а, a, b.

ПОЗНАТА СТРАНИЦА И ДВА УГЛА - а, a, b. Контрола:

ПОЗНАТА СТРАНИЦА И ДВА УГЛА - а, a, b.

Контрола: b  cos + c  cos = a ПОЗНАТА СТРАНИЦА И ДВА УГЛА - а, a, b. Контрола: b  cos + c  cos = a

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ ПРВИ НАЧИН: Применом косинусне теореме Познато- b, c, a Познато- a, c, b Познато- a, b,  Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, a. ПРВИ НАЧИН: Применом косинусне теореме Из синусне теореме, добијамо вредност угла b или g .  +  +  = 1800 g = 1800 - (a + b) Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13

g = 1800 - (a + b) контрола контрола

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, a. ДРУГИ НАЧИН: Применом тангенсне теореме Знамо да је:  +  +  = 1800  +  = 1800 -  Из тангенсне теореме следи:

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО ИЗМЕЂУ ЊИХ - b, c, a. ДРУГИ НАЧИН: Применом тангенсне теореме односно: Имамо да је: Страница а се рачуна применом синусне теореме: Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 14

контрола

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (ВЕЋЕ) СТРАНИЦЕ ОД ЊИХ - а, b, b (b > a). Трећи угао је: Из синусне теореме добија се вредност странице с. Решавање троугла: Тригонометријски образац бр. 13

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, b (b < c) Из синусне теореме следи: sing постоји само ако је c sinb ≤ b (0 ≤ sing ≤ 1).

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, b (b < c) Како је задат угао наспрам мање странице, могући су следећи односи: c sinb < b. Тада постоје два решења g1 и g2, при чему је: g1 + g2=1800 c sinb = b. Тада је g = 900 c sinb > b. Овакав троугао је немогућ (нема решење).

Ако важи први случај (са два решења), тада посматрамо троуглове: ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, b (b < c) Ако важи први случај (са два решења), тада посматрамо троуглове:

ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, b (b < c) ПРВО РЕШЕЊЕ DABC1: Трећи угао је: Из синусне теореме добија се вредност странице a1.

НАПОМЕНА: Троугао са два решења се у геодетској пракси избегава. ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, b (b < c) ДРУГО РЕШЕЊЕ DABC2: Знамо да је: Трећи угао је: Из синусне теореме добија се вредност странице a2. НАПОМЕНА: Троугао са два решења се у геодетској пракси избегава.

Ако важи други случај (правоугли троугао) тада следи: ПОЗНАТЕ ДВЕ СТРАНИЦЕ И УГАО НАСПРАМ ЈЕДНЕ (МАЊЕ) ОД ЊИХ - b, c, b (b < c) Ако важи други случај (правоугли троугао) тада следи: g = 900 Трећи угао је: Из синусне теореме добија се вредност странице a. Односно из Питагорине теореме: c2 = a2 + b2

РАЗМЕРА Размера плана је R = 1:2 000. Дата је дужина на плану d = 57,16 mm. Наћи њену вредност у пројекцији (природи). РЕШЕЊЕ: Дужина у пројекцији (природи) је:

ГАУС - КРИГЕРОВА ПРОЈЕКЦИЈА ПРИМЕР: За тачку: А (Y = 7 526 392.18 ; X = 4 909 868.46) може се рећи да је у 7 зони координатног система и да је: - 26 392.18m источно од X осе, а - 4 909 868.46m северно од пројекције Екватора (Y осе).

ГАУС - КРИГЕРОВА ПРОЈЕКЦИЈА - додирни цилиндар - немодулисане координате - секући цилиндар - модулисане координате Веза између два система координата 7 зоне координатног система је: M - линеарни модул који износи: M = 0.9999

ДИРЕКЦИОНИ УГАО

ДИРЕКЦИОНИ УГАО ДИРЕКЦИОНИ УГАО () је угао за који треба ротирати позитиван смер паралеле са X-осом координатног система у смеру кретања казаљке на часовнику, док се не поклопи са страном на коју се дирекциони угао односи. Дирекциони угао се означава са: , и чита као: "ни А на Б".

ДИРЕКЦИОНИ УГАО Дате су координате тачака A(YA, XA) i B(YB, XB). Потребно је срачунати дирекциони угао: и дужину: dAB Са слике следи: Дужина износи:

Koнтрола рачунања дирекционог угла:

ДИРЕКЦИОНИ УГАО Зависно од положаја тачака A и B у координатном систему, вредност дирекционог угла може да износи од 00 дo 3600 , односно он може да се налази у првом, другом, трећем или четвртом квадранту. Важи следеће: X - X Y - Y I квадрант + ΔY, + Δ X II квадрант + ΔY, – Δ X III квадрант – ΔY, – Δ X IV квадрант – ΔY, + Δ X

IV квадрант I квадрант II квадрант III квадрант

Вредност дирекционог угла ДИРЕКЦИОНИ УГАО Вредност дирекционог угла је: B 1800 A Рачунање дирекционог угла и дужине из координата крајњих тачака се врши у Тригонометријском обрасцу број 8.

Дирекциони угао је у I квадранту

РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА МЕТОДОМ ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД

РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА МЕТОДОМ ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД Уколико су дате координате тачака А(YА, XА) и B(YB, XB), као и мерени углови А и B, тада се методом пресецања напред могу срачунати координате тачке Т(YT, XT). Дате (познате вредности) вредности су: координате тачака: А(YА, XА) и B(YB, XB), мерени углови: А и B, Тражена (непозната) вредност: координате тачке: Т(YT, XT).

РАЧУНАЊЕ ПРИБЛИЖНИХ КООРДИНАТА ТАЧАКА МЕТОДОМ ПРЕСЕЦАЊА НАПРЕД Поступак рада: 1. Нацртати скицу координатног система са нанетим тачкама А и В. 2. Нанети на скици мерене углове А и B, 3. Срачунати вредност дирекционог угла и дужине dAB. Одредити вредности оријентационих праваца А и В на основу скице конкретне ситуације.

Т (YT,XT) Са слике следи:

 = В - А Са слике следи: Контрола рачунања(збир углова у троуглу): А + В +  = 1800 Из синусне теореме следи: Контрола рачунања:

Координате тражене тачке Т(YT, XT) се рачунају на два начина: помоћу тачке А: YТ' = YА + YА = YА + dАT  sinА XТ' = XА + XА = XА + dАТ  cosА помоћу тачке В: YТ'' = YB + YB = YB + dBТ  sinB XТ'' = XB + XB = XB + dBТ  cosB Уколико се вредности YТ' и YТ'' , као и XТ' и XТ'' слажу у оквиру дозвољеног одступања   0,1m; тада се за дефинитивну вредност координата тачке Т (YТ, XТ) узима аритметичка средина: