Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo TEORIJA KONSTRUKCIJA 2 Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo v. prof. dr Ratko Salatić Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19

3 DINAMIKA KONSTRUKCIJA Uvod u dinamiku konstrukcija Teorija konstrukcija 2 DINAMIKA KONSTRUKCIJA Uvod u dinamiku konstrukcija Sistemi sa jednim stepenom slobode Sistemi sa više stepeni slobode 3 Uvod Slobodne neprigušene oscilacije Prinudne prigušene oscilacije Modalna analiza

SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Uvod – Stepeni slobode Stepeni slobode dinamičkog sistema – Nezavisni parametri koji određuju položaj masa sistema u svakom trenutku vremena.  Masa u ravni – Tri stepena slobode: dve translacije i jedna rotacija.  Masa u prostoru – Šest stepeni slobode: tri translacije i tri rotacije.

SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Uvod – Stepeni slobode Smanjenje broja ukupnih parametara pomeranja dinamičkog sistema. → Usvajanje pretpostavki: Pretpostavka tačkaste mase: Jedna tačka je nosilac ukupne mase. Zanemaruje se rotacija mase. Pretpostavka zanemarivanja pomeranja koja su mala u odnosu na ostala pomeranja. Pretpostavka zanemarenja aksijalne deformacije.

SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Uvod – Stepeni slobode Tačkasta masa Zanemarenje pomeranja 3 stepena slobode 2 stepena slobode 1 stepen slobode

SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Uvod – Stepeni slobode

SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Uvod – Stepeni slobode Zanemarenje aksijalne deformacije kod ramova 4 3 1

SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Uvod Broj stepeni slobode pomeranja dinamičkog sistema – određen je brojem mogućih nezavisnih pomeranja koncentrisanih masa sistema. Određen je minimalnim brojem prostih elemenata (veza) koje treba dodati dinamičkoj rešetki sistema, da bi se sprečilo pomeranje svih čvorova u kojima se nalaze koncentrisane mase.  Dinamička rešetka sistema – Formira se tako što se na mestima svih čvorova, uklještenja i masa nosača postave zglobovi.

Primer – Broj stepeni slobode Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Primer – Broj stepeni slobode dinamička rešetka sistema 1 2 3 4 Prosta veza (prost oslonac)

Primer – Broj stepeni slobode Dinamika konstrukcija i zemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Primer – Broj stepeni slobode 1 1 2 Kruta ploča dinamička rešetka sistema 1. Zglobovi na mestima uklještenja 1. Zglobovi na mestima uklještenja 1. Zglobovi na mestima uklještenja 1 1 2 2. Zglobovi na mestima masa 2. Zglobovi na mestima masa Prost element 3. Zglobovi na mestima čvorova

Primer – Broj stepeni slobode Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Primer – Broj stepeni slobode 3 2 1

Primeri – Broj stepeni slobode Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Primeri – Broj stepeni slobode

Broj stepeni slobode – Rekapitulacija Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Broj stepeni slobode – Rekapitulacija Šta određuje broj stepeni slobode pomeranja? Stepen slobode Parametar pomeranja POMERANJE UBRZANJE INERCIJALNA SILA Broj inercijalnih sila ! DINAMIČKI USLOV RAVNOTEŽE Matematički definisan problem

Primeri – Domaći zadatak Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Primeri – Domaći zadatak

Slobodne neprigušene oscilacije Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije Diferencijalne jednačine kretanja

Slobodne neprigušene oscilacije Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije Sinhrone i sinfazne oscilacije harmonijskog tipa: sve frekvencije i fazni uglovi oscilovanja svih masa su jednaki.

Slobodne neprigušene oscilacije Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije Nesinhrone i sinfazne oscilacije harmonijskog tipa

Slobodne neprigušene oscilacije – Rešenje problema Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije – Rešenje problema Ako važi pretpostavka sinhronih i sinfaznih oscilacija harmonijskog tipa, rešenje diferencijalnih jednačina:

Slobodne neprigušene oscilacije – Rešenje problema Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije – Rešenje problema Svojstven problem dinamičke matrice

Slobodne neprigušene oscilacije Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije spektar frekvencija

Slobodne neprigušene oscilacije Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije Dinamička matrica – Dinamička matrica je matrica određena proizvodom matrice fleksibilnosti i matrice masa: Frekventna jednačina sistema sa više stepeni slobode – Jednačina čija rešenja predstavljaju kružne frekvence sistema. Sinhrone i sinfazne oscilacije – Sve mase osciluju istom frekvencom i istim faznim uglom. → Sve mase će istovremeno prolaziti kroz ravnotežni položaj. → Sve mase će istovremeno imati amplitudu oscilovanja.

Slobodne neprigušene oscilacije Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije Forma (oblik) oscilovanja – Položaj masa pri slobodnom kretanju sistema određuju formu oscilovanja sistema. Glavna forma (oblik, ton) oscilovanja r – Forma oscilovanja kada sve mase osciluju samo jednom kružnom frekvencijom iz spektra frekvencija. Svojstvo ortogonalnosti oblika oscilovanja – Glavne forme oscilovanja imaju svojstvo ortogonalnosti u odnosu na matricu masa:

Primer – Prosta greda, kontinualna masa Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Primer – Prosta greda, kontinualna masa

Primer – Prosta greda, diskontinualna masa Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Primer – Prosta greda, diskontinualna masa Analiza greške Δ(%) jedna masa dve mase tri mase Tačna vrednost ω1 0.73% 0.11% 0.03% 9.8696 ω2 - 3.28% 39.4784 ω3 6.32% 88.8264 Diskretni sistemi mogu uspešno aproksimirati kontinualne sisteme masa pri proračunu prvih tonova. !

Oblici oscilovanja – Primer Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Oblici oscilovanja – Primer

Oblici oscilovanja – Primer Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Oblici oscilovanja – Primer

Oblici oscilovanja – Primer, prvi oblik oscilovanja Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Oblici oscilovanja – Primer, prvi oblik oscilovanja

Oblici oscilovanja – Primer, drugi oblik oscilovanja Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Oblici oscilovanja – Primer, drugi oblik oscilovanja

Slobodne neprigušene oscilacije – Oblici oscilovanja Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije – Oblici oscilovanja 1. oblik oscilovanja

Slobodne neprigušene oscilacije – Oblici oscilovanja Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Slobodne neprigušene oscilacije – Oblici oscilovanja 2. Oblik oscilovanja

Prinudne neprigušene oscilacije Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Prinudne neprigušene oscilacije

Prinudne neprigušene oscilacije Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Prinudne neprigušene oscilacije

Prinudne neprigušene oscilacije Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Prinudne neprigušene oscilacije Uslovna jednačina rešenja: inercijalne sile dinamički uticaji

SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Primeri

Sistem n simultanih diferencijalnih jednačina Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Modalna analiza Matrična jednačina dinamičke ravnoteže za diskretni dinamički prigušen sistem sa n stepeni slobode Sistem n simultanih diferencijalnih jednačina

SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Modalna analiza → Transformiše sistem simultanih diferencijalnih jednačina u sistem međusobno nezavisnih diferencijalnih jednačina. → Superpozicija rešenja tih jednačina daje dinamički odgovor sistema.

Matrica transformacije, Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Modalna analiza Glavne koordinate Matrica transformacije, MODALNA matrica Dijagonalne matrice

SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Teorija konstrukcija 2 SISTEMI SA VIŠE STEPENI SLOBODE Modalna analiza