Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina Teorija konstrukcija 2 v. prof. dr Ratko SALATIĆ Građevinski fakultet u Beogradu, školska 2018/19 godina

TEORIJA POVRŠINSKIH NOSAČA Sadržaj Ploče Savijanje ploča Ravno naprezanje ploča Ravna deformacija Ljuske

PLOČE Osnovni pojmovi POVRŠINSKI NOSAČI ̶ Nosači kod kojih su dve dimenzije, dužina i širina, velike u odnosu na debljinu nosača. Podužni naponi u oba pravca su istog reda veličine, dok je napon upravan na njih mali, pa se može zanemariti. Ovi nosači se dele na ploče i ljuske. PLOČE ̶ je telo čija je jedna dimenzija mala u odnosu na druge dve dimenzije, ograničena sa dve paralelne ravni i cilindričnom površinom upravno na njih. SREDNJA RAVAN PLOČE ̶ je ravan koja polovi debljinu ploče. KONTURA PLOČE ̶ je kriva duž koje srednja ravan ploče seče cilindričnu površinu, koja ograničava ploču. ELASTIČNA POVRŠINA ̶ je srednja ravan pri deformaciji ploče.

PLOČE Sile u preseku Za ravan sa normalom x komponentalni naponi su: σx τxy τxz

PLOČE Vrste naprezanja Fleksiono naprezanje Ravno naprezanje

TEORIJA POVRŠINSKIH NOSAČA Sadržaj Ploče Savijanje ploča Ravno naprezanje ploča Ravna deformacija Ljuske

SAVIJANJE PLOČA Teorija tankih ploča Kirchoff-ove pretpostavke Linearni element upravan na srednju ravan ploče pre deformacije, ostaje prav, nepromenjene dužine i upravan na deformisanu srednju ravan (elastičnu površinu) i posle deformacije. Prilikom deformacije ne menja se dužina, kao ni ugao između linijskih elemenata srednje ravni. Normalni naponi σz za ravni paralelne sa srednjom ravni ploče, smatraju se malim u poređenju sa ostalim komponentalnim naponima i mogu se zanemariti. Pretpostavka linearno elastičnog materijala Materijal je izotropan i linearno elastičan.

SAVIJANJE PLOČA Podela ploča prema debljini Veoma tanke ploče – membrane (h/b ≤ 1/80÷1/100), mala krutost na savijanje, pomeranja u pravcu normale na srednju ravan (ugibi) su velika u odnosu na debljinu ploče. Ploče su uglavnom napregnute na zatezanje, pa druga hipoteza postaje neodrživa.   Tanke ploče (1/80÷1/100 ≤ h/b ≤ 1/5÷1/8), primenljive su sve hipoteze. Ugibi su mali u odnosu na debljinu ploče, deformacije srednje ravni ploče su male, kao i napon . Debele ploče (h/b ≥ 1/5÷1/8) Zanemarivanje napona σz i dilatacije, kao i upravnost normale na srednju ravan nakon deformacije je neprihvatljivo.

SAVIJANJE PLOČA Deformacija ploče Posledica prve pretpostavke teorije tankih ploča: Ugibi ploče, ne zavise od položaja tačke u odnosu na srednju ravan, već zavise samo od koordinata x i y, dok se komponen- talna pomeranja u i v mogu izraziti samo preko pomeranja w. Kao posledica toga komponentalne deformacije i komponentalni naponi mogu se izraziti samo preko pomeranja w.

SAVIJANJE PLOČA Deformacija ploče i komponentalni naponi

SAVIJANJE PLOČA Sile u preseku

SAVIJANJE PLOČA Uslovi ravnoteže

SAVIJANJE PLOČA Uslovi ravnoteže

SAVIJANJE PLOČA Diferencijalna jednačina Nepoznate veličine: Mx My Mxy Tx Ty w

SAVIJANJE PLOČA Konturni uslovi Statički Geometrijski

SAVIJANJE PLOČA Konturni uslovi Mešoviti Sile u uglu ploče

SAVIJANJE PLOČA Pravougaona slobodno oslonjena ploča sa ravnomerno podeljenim opterećenjem

SAVIJANJE PLOČA Pravougaona slobodno oslonjena ploča sa ravnomerno podeljenim opterećenjem

SAVIJANJE PLOČA Pravougaona ploča sa različitim konturnim uslovima

SAVIJANJE PLOČA Kružna ploča

SAVIJANJE PLOČA Kružna ploča – Konturnu uslovi

SAVIJANJE PLOČA Proračun metodom konačnih razlika

SAVIJANJE PLOČA Proračun metodom konačnih razlika

TEORIJA POVRŠINSKIH NOSAČA Sadržaj Ploče Savijanje ploča Ravno naprezanje ploča Ravna deformacija Ljuske

RAVNO NAPREZANJE Nosači pri ravnom naprezanju

RAVNO NAPREZANJE  Zapreminska sila zamenjuje se površinskom silom. Pretpostavke Deformacija se odvija bez krivljenja. (Srednja ravan ploče ostaje ravna i posle deformacije.) Opterećenje ploče je ravnomerno raspoređeno po njenoj debljini. Naponi σx σy i τxy su ravnomerno raspoređeni po debljini ploče. Naponi σz τzx i τzy u celoj oblasti identički su jednaki nuli.  Zapreminska sila zamenjuje se površinskom silom.  Površinska sila zamenjuje se linijskom silom.

RAVNO NAPREZANJE Presečne sile

RAVNO NAPREZANJE Uslovi ravnoteže

RAVNO NAPREZANJE Deformacija ploče

RAVNO NAPREZANJE Diferencijalna jednačina Nepoznate veličine: Nx Ny Nxy u v

RAVNO NAPREZANJE Diferencijalna jednačina Naponska Airy-eva f-ja Funkcija potencijala

TEORIJA POVRŠINSKIH NOSAČA Sadržaj Ploče Savijanje ploča Ravno naprezanje ploča Ravna deformacija Ljuske

RAVNA DEFORMACIJA Nosači pri ravnoj deformaciji

RAVNA DEFORMACIJA Diferencijalna jednačina Pretpostavka Pomeranja i deformacija u pravcu z ose , odnosno tačke poprečnog preseka imaju samo komponente pomeranja u ravni x0y → u=u(x,y) → v=v(x,y) → εz = γzx = γzy = 0 Diferencijalna j-na

TEORIJA POVRŠINSKIH NOSAČA Sadržaj Ploče Savijanje ploča Ravno naprezanje ploča Ravna deformacija Ljuske

LJUSKE Primeri

LJUSKE Uvod  LJUSKE – su površinske noseće konstrukcije sastavljene od zakri-vljenih površi, čija je debljina mala u odnosu na druge dimenzije i koje prihvataju opterećenje podužnim (membranskim) silama i savijanjem. Geometrijsko mesto tačaka na polovini debljine ljuske čine srednju površinu ljuske, koja po pravilu ima osu simetrije. Ravni koje prolaze kroz osu simetrije prave meridijanske preseke. Tanke ljuske – su ljuske kod kojih je odnos debljine ljuske h i radijusa krivine srednje površi R mali. Može se postaviti kriterijum: max (h/R) ≤ 1/20 . Ostale ljuske koje ne zadovoljavaju kriterijum smatra se da su debele ljuske.

LJUSKE Teorija tankih ljuski Pretpostavke Srednja površ ljuske Prava vlakna su upravna na srednju površinu ljuske ostaju i posle deformacije prava, ne menjajući svoju dužinu. Normalni naponi u ravnima paralelnim srednjoj površini zanemaruju se u poređenju sa ostalim naponima. Srednja površ ljuske

LJUSKE Geometrija ljuski  Glavne krivolinijske koordinate, određene su međusobno ortogo-nalnim linijama koje prolaze kroz posmatranu tačku. One imaju osobinu da krivina linije, koja se dobija presekom ravni upravnoj na srednju površ ljuske koja sadrži i tangentu na liniju u posmatra-noj tački, ima minimalnu odnosno maksimalnu vrednost, u presečnoj ravni. Tipovi ljuski Koordinate Parametri 1 Proizvoljna rotaciona površ ϕ, θ R1, R2, Ro 2 Sferna kupola R1, Ro 3 Konusna ljuska y(z), θ R2, Ro 4 Hiperbolična z, ϕ Ro 5 Cilindrična ljuska α

LJUSKE Komponentalni naponi i presečne sile

LJUSKE Bezmomentna teorija ljuski Bezmomentno (membransko) naprezanje – Ako se u svim presecima ljuske javljaju samo sile, Nα Nβ Nαβ Nβα , koje leže u tangencijalnoj ravni na srednju površ ljuske.

LJUSKE Bezmomentna teorija ljuski Uslovi da se javi membransko naprezanje Debljina ljuske mora da je mala, tako da je odnos mali i kao takav se može zanemariti. Srednja površina ljuske mora biti glatka. Opterećenje ljuski mora biti blago, bez skokova. Oslanjanje ljuski mora biti tako da se na krajevima javljaju samo membranske sile. Deformacija sračunata na osnovu određenih presečnih sila mora biti jednoznačno određena. Debljina ljuske je konstantna ili kontinualno promenljiva.

LJUSKE Analogija sa lučnim nosačima

LJUSKE Momentna teorija ljuski

LJUSKE Momentna teorija ljuski