Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu! Zavod za unapređivanje obrazovanja i vaspitanja Autor rada: Nastavni predmet: Тема: Uzrast: Potrebna tehnologija: Mirjana Mitrović, ЕТŠ” Mihajlo Pupin”, Novi Sad. Matematika Kubatura Četvrti Računar i projektor Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu!

PRIMENA ODREDJENOG INTEGRALA: KUBATURA ZAPREMINA OBRTNOG TELA

za svako x koje pripada intervalu [a,b]. Obrtanjem oko x-ose Definicija: Neka je funkcija f neprekidna i nenegativna na intervalu [a,b] za svako x koje pripada intervalu [a,b]. Obrtanjem oko x-ose krivolinijskog trapeza u xOy ravni ograničenog krivom y=f(x), odsečkom [a,b] na x-osi i pravama x=a i x=b nastaje obrtno telo K. x y a b y=f(x)

Da bismo izračunali zapreminu ovog tela, podelimo odsečak [a,b] na n delova tačkama a=x0, x1,...,xn=b. Kroz deone tačke postavimo ravni normalne na x-osu, dobijemo n manjih obrtnih tela. x a b y . . . x1 x2 xn-1 x0= =xn

V(K) ∑f(xi) π ∆xi = π ∑ f(xi) ∆xi . Na ovaj način smo telo K zamenili telom koje se sastoji od n valjaka visine ∆xi = xi+1 –xi i poluprečnika osnova f(xi) ,i = 0,1,...,n-1. Zapremina i-tog valjka iznosi f(xi) π∆xi i predstavlja približnu vrednost zapremine i-tog manjeg obrtnog tela, i=0,1,...,n-1. 2 Zapremina celog tela K približno je jednaka zbiru zapremina svih ovih valjaka: V(K) ∑f(xi) π ∆xi = π ∑ f(xi) ∆xi . ~ i=0 n-1 2 Što su podeoci uočene podele odsečka [a,b] manji to je zbir zapremina valjaka bliži zapremini obrtnog tela,tj.kad dužina najvećeg podeoka d teži nuli,zbir zapremina valjka teži zapremini tela K: V(K) = π lim ∑f(xi) ∆xi 2 d→0 i=0 n-1

Teorema: Neka je funkcija f neprekidna i nenegativna na intervalu [a,b] za svako x koje pripada tom intervalu. Tada je zapremina obrtnog tela K koje nastaje obrtanjem oko x-ose krivolinijskog trapeza ispod krive y=f(x) nad odsečkom [a,b]: V(K) = π ∫ f(x) dx a b 2

PRIMER: Izračunati zapreminu sfere poluprečnika R (R>0) . Sfera nastaje rotacijom polukruga čija je jednačina x y R -R

ZADACI: Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograničene krivom xy=4 i pravama x=1,x=4 i y=0. 1 4 y x

3. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograničene krivama y = 9 – x, y = 2x. 2 y x y = 2x 2 y = 9 - x 9 3

ZADACI ZA VEŽBU: Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograničene krivom y = (x+4) i pravom x=0. 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograničene krivom y = x i pravama y=0,x=1. 3. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograničene krivom y=cos x i pravama y=0,x=0. 4. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose figure ograničene krivom y=e i polupravom y=0 za x0. 2 3 -x