MOGUĆE RASPODJELE ČESTICA PO ENERGETSKIM NIVOIMA ei , gi (N0, N1, N2, …) konfiguracija (makrostanje) raspored Ni čestica na gi stanja u energetskom stanju ei - mikrostanje

p(a) =p(b) POSTULATI STATISTIČKE MEHANIKE SVA SU MIKROSTANJA (KVANTNA STANJA) ODREĐENOG ENERGIJSKOM STANJA JEDANKO VJEROJATNA. ei a ei b p(a) =p(b) NAJVJEROJATNIJEM MAKROSTANJU PRIPADA NAJVEĆI BROJ MIKROSTANJA

FERMIONI dva fermiona ne mogu biti opisani istom valnom funkcijom (ne mogu se naći u istom kvantnom stanju) ZADATAK Koliko se kvantnih stanja može pripisati dva fermiona u enegijskom stanju koje je trostruko degenerirano? (Koliki je broj mikrostanja?) a b

FERMIONI a b w = 3 w = 6

FERMIONI Ako postoji i drugo energijsko stanje koje je dvostruko degenerirano i u kojemu se nalazi jedna čestica koliki je ukupni broj kvantnih stanja (mikrostanja) u sustavu? W =2·3 = 6

FERMIONI permutacije obilježenih objekata u energijskom stanju εi (čestica i nečestica) 2. podijeliti ukupan broj permutacija s zbog nerazlikovanja čestica i nečestica

BOSONI po volji velik broj bosona može biti opisani istom valnom funkcijom (svi se bosoni u sustavu mogu naći u istom kvantnom stanju) ZADATAK Koliko se kvantnih stanja može pripisati dva bosona u enegijskom stanju koje je trostruko degenerirano? (Koliki je broj mikrostanja?) a b

BOSONI W = 3 + 3 = 6

BOSONI za i nivoa degeneracije gi napučenih s Ni čestica permutacije Ni + gi -1 obilježenih objekata u energijskom stanju εi (čestica i pregrada) 2. podijeliti ukupan broj permutacija s zbog nerazlikovanja čestica i pregrada.

BOLTZONI zadatak Na koliko je načina moguće raspodijeliti tri obilježene čestice u dvije skupine (dva nedegenerirana nivoa)? a b c a bc b ac c ab w = 3

BOLTZONI Čestice u svakoj skupini želimo raspodijeliti na dva degenerirana stanja. Na koliko je ukupno načina sada moguće rasporediti čestice? a bc b ac c ab a b c bc za preostale dvije skupine imamo još po osam rasporeda w = 3·8 = 24

BOLTZONI broj načina na koje čestice možemo raspodijeliti u gi stanja jednak je: a b c c b a bc bc 2 4 ako imamo gi stanja u skupini (nivou) s Ni čestica ukupan je broj načina jednak:

BOLTZONI N = 3 N1 = 1; g1 = 2 N2 = 2 ; g2 = 2

TRANSLACIJA (DEGENERACIJA)

NAJVJEROJATNIJA RASPODJELA BOLTZONA PO ENERGETSKIM NIVOIMA N, V = konst. ograničenja:

z = f(x,y) g = f(x,y) = c z = x+y g = x2 +y2 = 1 dz = dx + dy Lagrangeova metoda neodređenih množitelja z = f(x,y) g = f(x,y) = c z = x+y g = x2 +y2 = 1 dz = dx + dy adg = a2xdx +a2ydy = 0 dz = (1+a2x) dx + (1+a2y)dy = 0 x=-1/2a y = -1/2a (ograničenje)

Lagrangeova metoda neodređenih množitelja, MB raspodjela

Stirlingova aproksimacija

q- čestična particijska funkcija MB raspodjela za klasični plin q- čestična particijska funkcija

koeficijent  NAJVJEROJATNIJE MAKROSTANJE ZNATNO JE VJEROJATNIJE OD SVIH OSTALIH MAKROSTANJA

ε – ukupna energija τ – kinetička energija v –potencijalna energija TRANSLACIJE ε – ukupna energija τ – kinetička energija v –potencijalna energija n- translacijski kvantni broj

IDEALNI MONOATOMNI PLIN

TRANSLACIJA

IDEALNI MONOATOMNI PLIN

gi/Ni = (q/N) exp(ei/kT) PRIMJENJIVOST MB STATISTIKE gi/Ni = (q/N) exp(ei/kT) IDEALNI MONOATOMNI PLIN Ar, m= 39,948 u p = 1 bar θ = 20 °C (q/N) = 9,6 × 106

(q/N) = 4,8 × 10-4 (q/N) = 10 PRIMJENJIVOST MB STATISTIKE ELEKTRONI U METALU Na prostorno centrirana kubična rešetka N = 2 V = 0,076 nm3 T = 293 K q/N =? (q/N) = 4,8 × 10-4 (q/N) = 10  T = 200 000 K

DOMINANTNOST NAJVJEROJATNIJEG MAKROSTANJA

DOMINANTNOST NAJVJEROJATNIJEG MAKROSTANJA

ČESTIČNA PARTICIJSKA FUNKCIJA VIŠEATOMNE MOLEKULE

ROTACIJE (DVOATOMNE MOLEKULE) -rotacijski kvantni broj

VIBRACIJE (DVOATOMNE MOLEKULE) re μ r

NAPUČENOST (ROTACIJE) Degeneracija!

NAPUČENOST (VIBRACIJE)

qt(3) = (2pmkT/h 2)3/2 abc = (2pmkT/h 2)3/2 V UNUTRAŠNJA ENERGIJA ishodište energije! TRANSLACIJE qt(3) = (2pmkT/h 2)3/2 abc = (2pmkT/h 2)3/2 V

Ur = nRT ROTACIJE (DVOATOMNE HETERONUKLEARNE MOLEKULE) UNUTRAŠNJA ENERGIJA Ur = nRT

VIBRACIJE (DVOATOMNE MOLEKULE) UNUTRAŠNJA ENERGIJA

VIBRACIJE ωe = 300 cm-1 T= 300 K

VIBRACIJE ωe = 300 cm-1 T= 1000 K

mikrostanja makrostanja fermioni, bozoni, boltzoni MB raspodjela za najvjerojatniju konfiguraciju dominantnost najvjerojatnije konfiguracije primjenjivost MB statistike čestična particijska funkcija faktorizacija čestične particijske funkcije za različite stupnjeve slobode ishodište energije, unutrašna energija kvantno-razrijeđenog plina (monoatomne i dvoatomne heteronuklerarne molekule)

ENTROPIJA A B WB = 2 WA = 2 S = SA + SB W = 4 W = WA · WB

ENTROPIJA S = k ln W -sistemska particijska funkcija nelokaliziranog mnoštva

T 0 K FERMIONI BOSONI e3 e2 e1 e0 e0

ENTROPIJA neodređenost položaja veže se uz translaciju

TRANSLACIJSKI DOPRINOS ENTROPIJI

ROTACIJSKI DOPRINOS ENTROPIJI (DVOATOMNE HETERONUKLERANE MOLEKULE)

VIBRACIJSKI DOPRINOS ENTROPIJI (DVOATOMNE MOLEKULE) ELEKTRONSKI DOPRINOS ENTROPIJI

N2

ENTROPIJA MIJEŠANJA + S = kBlnW S = - Nk {xA ln xA + xB ln xB }

VA , nA, T, p VB , nB, T, p V =VB+ VA, n= nA +nB, T, p + 1.) ENTROPIJA MIJEŠANJA IDEALNIH PLINOVA VA , nA, T, p VB , nB, T, p V =VB+ VA, n= nA +nB, T, p + 1.) VA , nA, T, p V =VB+ VA, nA ,T, pA VB , nB, T, p V =VB+ VA, nB ,T, pB 2.) vakum V =VB+ VA, nA ,T, pA V =VB+ VA, nB ,T, pB V =VB+ VA, n= nA +nB, T, p

G, H, A, P

CV, Cp

Boltzmannova definicija entropije entropija lokaliziranih i nelokaliziranih Boltzona čestična i sistemska particijska funkcija izvod translacijskih, vibracijskih, rotacijskih i elektronskih doprinosa entropiji entropija miješanja izvod funkcija stanja (G, H, A) iz entropije i unutrašnje energije