Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu! Zavod za unapređivanje obrazovanja i vaspitanja Autor rada: Nastavni predmet: Tема: Uzrast: Potrebna tehnologija: Mirjana Mitrović, ЕТŠ” Mihajlo Pupin”, Novi Sad. Matematika Kvadratura Četvrti Računar i projektor Kliknite ovde za unos prikaza časa u Word dokumentu!

PRIMENA ODREĐENOG INTEGRALA-KVADRATURA IZRAČUNAVANJE POVRŠINE RAVNIH FIGURA

površinu figure ograničene krivom y=f(x),pravama x=a,x=b i x-osom Definicija:Neka je f pozitivna neprekidna funkcija na intervalu [a,b]. Tada površinu figure ograničene krivom y=f(x),pravama x=a,x=b i x-osom definišemo kao . P=∫ a b f(x)dx x y y=f(x) a b P

će biti negativan broj. Tada umesto krive y=f(x) posmatramo U slučaju kad je f negativna neprekidna funkcija tada se njen grafik, tj. kriva y=f(x) nalazi ispod x-ose i integral će biti negativan broj. Tada umesto krive y=f(x) posmatramo krivu y=│f(x)│ i P= │f(x)│dx. ∫ a b ∫ f(x)dx a b ∫ f(x)dx a b y=│f(x)│ y=f(x) x y

P= │f(x)│dx = f(x)dx - f(x)dx + f(x)dx. ∫ Ovu definiciju zadržavamo i kad funkcija f menja znak na intervalu [a,b]. y y=f(x) c d a b x P= │f(x)│dx = f(x)dx - f(x)dx + f(x)dx. ∫ a c b d

svako x koje pripada intervalu [a,b]. Tada važi: Definicija: Neka su f i g neprekidne funkcije na intervalu [a,b] i f(x) ≥ g(x) za svako x koje pripada intervalu [a,b]. Tada važi: P= (f(x) – g(x))dx. ∫ a b a b y=g(x) y=f(x) x y

Ako su funkcije f i g negativne i figura, ograničena sa dva luka krive, se nalazi ispod x-ose, onda je površina te figure jednaka površini figure ograničene krivama koje se dobijaju transliranjem krivih y=f(x) i y=g(x) duž y-ose. a b x y y=f(x) y=g(x) y=f(x) y=g(x)

Ako nije ispunjen uslov f(x) ≥ g(x) za svako x iz intervala [a,b], već se krive y=f(x) i y=g(x) seku u konačno mnogo tačaka, tada važi: P= │f(x) – g(x)│dx. ∫ a b y x c a b y=f(x) y=g(x)

Izračunati površinu ograničenu linijama y = 2x + 4 i y = x - x - 6. Presečne tačke:

2.Izračunati površinu figure ograničene krivama y=lnx i y=ln x.

3. Izračunati površinu ograničenu krivama y = √x i y=x . 2

ZADACI ZA VEŽBU 1. Izračunati površinu figure ograničene krivama xy=2 i x+2y-5=0. 2. Izračunati površinu figure ograničene krivama y=2x-x i x+y=0. 3. Izračunati površinu figure ograničene linijama x = -1, y = 0, y = x + x + 1 i tangentom krive u tački A(1,3). 4. Izračunati površinu figure ograničene krivama y= i x + y = 8. 2 x