- PREDAVANJE 9 - Nikola Zubić Novi Sad, 13.12.2017 Ojlerovi grafovi - PREDAVANJE 9 - Nikola Zubić Novi Sad, 13.12.2017

Napomene Multigraf – graf koji ima petlju ILI paralelne grane Tvrđenje Ojlerove teoreme ćemo formulisati u jačem obliku (za multigrafove) Staza – grane se ne smiju ponavljati Put – čvor i grane se ne smiju ponavljati Ciklus (kontura) – krenemo iz jednog čvora i moramo se ponovo vratiti u njega

Sedam kenigsberških mostova

Ojlerov put je put u okviru grafa, koji obilazi svaku granu tačno jednom Ojlerov ciklus je put koji počinje i završava se u istom čvoru Neophodan uslov za postojanje Ojlerovog ciklusa da su svi čvorovi u grafu parnog stepena Povezan graf kod kojeg su svi čvorovi parnog stepena jeste Ojlerov graf Dva značenja: graf koji sadrži Ojlerov put, graf čiji su svi čvorovi parnog stepena (poklapaju se za povezane grafove) Graf koji ima Ojlerov put, ali ne i Ojlerov ciklus se naziva polu-Ojlerov

Definicije potrebne za naredne teoreme Definicija: Ojlerova kontura multigrafa G je zatvorena staza koja sadrži sve grane iz G. (Multi)graf koji ima Ojlerovu konturu naziva se Ojlerov (multi)graf Definicija: Ojlerov put u multigrafu G je staza koja sadrži sve grane iz G (može biti i da nije zatvorena staza). (Multi)graf koji ima Ojlerov put naziva se poluojlerov (multi)graf

Teorema: Ako je u grafu G najmanji stepen čvora dg(v) ≥ 2, onda G sadrži ciklus Dokaz: Pretpostavimo suprotno – da je G acikličan. Tada je G put i svaka njegova komponenta povezanosti je stablo. Kako u svakom netrivijalnom stablu (ako je trivijalno sastoji se od jednog izolovanog čvora v’ i za njega treba da važi dg(v’) ≥ dg(v) ≥  2, što je kontradikcija jer je dg(v) = 0) prema tvrđenju za stabla u svakom stablu postoje bar 2 čvora stepena 1, dobijamo kontradikciju sa polaznom pretpostavkom dg(v) ≥ 2, te G sadrži ciklus

Ojlerova teorema: Povezan multigraf sa bar jednom granom je Ojlerov akko sadrži sve čvorove parnog stepena. Dokaz: => : trivijalan <= : matematička indukcija (po broju grana) Posledica: Povezan multigraf sa bar jednom granom je poluojlerov akko sadrži 0 ili 2 čvora neparnog stepena

Na osnovu prethodne teoreme obilazak mostova u Kenigsbergu nije moguć jer odgovarajući graf ima stepene čvorova 5, 3, 3, 3, te on nije poluojlerov, a ni Ojlerov Ako je graf Ojlerov, moguće ga je nacrtati iz jednog poteza (bez dizanja olovke sa papira) tako da se kroz svaku granu prolazi tačno jednom Ako ima 0 čvorova neparnog stepena tada crtanje počinje u jednom i završava se u istom čvoru, a ako ima 2 čvora neparnog stepena, tada crtanje počinje u jednom od njih, a završava se u drugom

Može li se jednim potezom (bez dizanja olovke sa papira) nacrtati figura sa slike? Dokazati ili opovrgnuti: Ne postoji povezan Ojlerov graf koji ima paran broj čvorova i neparan broj grana Dokazati ili opovrgnuti: Ako je G Ojlerov graf sa granama e i f koje imaju zajednički čvor, tada G sadrži Ojlerovu konturu u kojoj se e i f pojavljuju jedna za drugom Koji od grafova sa slike je Ojlerov?

Primene Organizacije kod kojih želimo da se sve pregleda jednom i pređe što manji put Problem kineskog poštara (ako je graf Ojlerov najbolje, u protivnom tražimo optimalno rešenje) Rekonstrukcija DNK sekvence od njenih fragmenata Bioinformatika CMOS strujna kola (optimalan logički raspored) Teorijsko računarstvo