METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA Koeficjenti su brojevi koji se množe s nepoznanicom. Slobodni koeficjenti 2x – 5y = 12 -7x + 3y = -8 2 -7 – 5 3 Koeficjenti uz x: Koeficjenti uz y: -1 1 – x – y = 9 x – y = -5 –1 Slobodni koeficjenti Koeficjenti uz x: Koeficjenti uz y: 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA Za sve linearne jednadžbe vrijedi: Ako zbrojimo dvije jednadžbe jednadžba koju dobijemo ima jednako rješenje kao i jednadžbe koje smo zbrajali. Ako cijelu jednadžbu pomnožimo ili podijelimo s brojem različitim od nule dobit ćemo jednadžbu koja ima jednako rješenje kao i jednadžba koju smo dijelili ili množili. Ove činjenice koristimo kako bismo se riješili jedne nepoznanice i izračunali drugu nepoznanicu. Tome nam pomaže činjenica da je zbroj suprotnih brojeva NULA. 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA Zbrajanjem jednadžbi nastojimo se riješiti jedne nepoznanice. To možemo postići ako su koeficjenti uz istu nepoznanicu suprotni brojevi. Na primjer: 5x – 5x = 0 -11y + 11y = 0 -x + x = 0 0.8y – 0.8y = 0 To znači da u novoj jednadžbi nema x ili y. Ako se ne prilikom zbrajanja ne poništi jedna od nepoznanica prije zbrajanja moramo jednadžbe pomnožiti tako da imamo suprotne koeficjente. Evo rješenja nekih zadataka iz udžbenika. 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA x – y = 1 x + y = 7 1. Koeficjenti uz x su 1 i 1 a koeficjenti uz y su -1 i 1. Uz y imamo suprotne koeficjente pa možemo odmah zbrajati jednadžbe. 2x = 8 x = 4 -y + y = 0 što znači da y nema. U ovom je slučaju je jednostavnije za izračunavanje y primijeniti supstituciju. U bilo koju od jednadžbi uvrstimo izračunatu vrijednost od x. 4 + y = 7 x + y = 7 Rješenje: (4, 3) y = 7 - 4 y = 3 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA x – y = 1 x + y = 7 Rješenje: (4, 3) 1. Provjera: 4 + 3 = 7 4 - 3 = 1 7 = 7 1 = 1 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA -4x + 3y = -23 4x + 3y = 41 2. Koeficjenti uz x su -4 i 4. To su suprotni brojevi pa možemo odmah zbrajati jednadžbe. -4x + 4x = 0 6y = 18 y = 3 U bilo koju od jednadžbi uvrstimo izračunatu vrijednost od y. 4x + 3•3 = 41 4x + 3y = 41 4x + 9 = 41 Rješenje: (8, 3) 4x = 41 - 9 4x = 32 x = 8 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA -4x + 3y = -23 4x + 3y = 41 . Rješenje: (8, 3) 2. Provjera: 4•8 + 3•3 = 41 -4•8 + 3•3 = -23 -32 + 9 = -23 32 + 9 = 41 41 = 41 -23 = -23 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA 5x + 6y = 43 5x - 2y = 19 3. Koeficjenti uz x su 5 i 5. Što nisu suprotni brojevi. Suprotne koeficjente možemo dobiti ako jednu jednadžbu (bilo koju) pomnožimo sa -1. ∙(-1) 5x + 6y = 43 -5x + 2y = -19 Sada možemo zbrajati jednadžbe. 5x i -5x će se poništiti. 5x – 5x = 0 8y = 24 y = 3 5x + 6•3 = 43 5x + 6y = 43 U bilo koju od jednadžbi uvrstimo izračunatu vrijednost od y i izračunamo x. 4x + 18 = 43 5x = 43 - 18 5x = 25 x = 5 Rješenje: (5, 3) 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA 5x + 6y = 43 5x – 2y = 19 Rješenje: (5, 3) 3. Provjera: 5 • 5 – 2 • 3 = 19 5 • 5 + 6 • 3 = 43 25 + 18 = 43 25 + 6 = 19 43 = 43 19 = 19 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA 5x + 6y = 43 5x – 2y = 19 3. Ovaj smo zadatak mogli riješiti i na drugi način. Ako drugu jednadžbu pomnožimo sa 3 dobit ćemo suprotne koeficjente uz y. ∙3 5x + 6y = 43 15x – 6y = 57 20x = 100 Sada možemo zbrajati jednadžbe. 6y i -6y će se poništiti. 6y – 6y = 0 x = 5 5 • 5 + 6x = 43 5x + 6y = 43 U bilo koju od jednadžbi uvrstimo izračunatu vrijednost od y i izračunamo x. 25 + 6y = 43 6y = 43 - 25 6y = 18 y = 3 Dobili smo jednako rješenje. Rješenje: (5, 3) 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA 5x + 6y = 43 5x – 2y = 19 Rješenje: (5, 3) 3. Provjera: 5 • 5 – 2 • 3 = 19 5 • 5 + 6 • 3 = 43 25 + 18 = 43 25 – 6 = 19 43 = 43 19 = 19 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA Ovdje nema suprotnih koeficjenata. Koeficjenti uz p su 9 i 12. Njihov zajednički višekratnik je 36. To znači da jednadžbe moramo pomnožiti takvim brojevima da dobijemo 36 p i –36p. 9p + 20t = -10 12p – 25t = 28 ∙4 4. ∙(-3) 36p + 80t = -40 -36p + 75t = -84 155t = -124 Sada možemo zbrajati jednadžbe. 6y i -6y će se poništiti. 36p – 36p = 0 Razlomak skratimo sa 31. ∙5 9p + 20t = -10 12p – 25t = 28 Ako ne volite računati sa razlomcima može se još jednom primijeniti metoda suprotnih koeficjenata da se izračuna p. Sada se moramo iz jednadžbi riješiti t kao nepoznanice. Zajednički višekratnik od 20 i 25 je 100. Dakle mi moramo pomnožiti jednadžbe tako da dobijemo 100 i – 100 100t – 100t = 0 ∙4 45p + 100t = -50 48p – 100t = 112 93p = 62 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA 3. 9p + 20t = -10 12p – 25t = 28 Provjera: 6 – 16 = -10 8 + 20 = 28 -10 = -10 28 = 28 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA

METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA OŠ Privlaka 09. 05. 2011. Snježana Stanić 26.8.2019. METODA SUPROTNIH KOEFICJENATA