Простор Платон Питања о простору се код Платона постављају у његовом нетипичном дијалогу Тимај, у коме Тимај Сократу и Критији излаже своју ‘космогонију’

Презентација на тему: "Простор Платон Питања о простору се код Платона постављају у његовом нетипичном дијалогу Тимај, у коме Тимај Сократу и Критији излаже своју ‘космогонију’"— Транскрипт презентације:

1 Простор Платон Питања о простору се код Платона постављају у његовом нетипичном дијалогу Тимај, у коме Тимај Сократу и Критији излаже своју ‘космогонију’ – теорију о стварању свих аспеката света, од основних физичких елемената до људске физиологије. Добар део Тимајеве приче је мистичан, ако не и противуречан

2 Простор Платон Питања о простору се код Платона постављају у његовом нетипичном дијалогу Тимај, у коме Тимај Сократу и Критији излаже своју ‘космогонију’ – теорију о стварању свих аспеката света, од основних физичких елемената до људске физиологије. Добар део Тимајеве приче је мистичан, ако не и противуречан Код Платона нећемо наћи заокружену, па ни јасну ни конзистентну теорију простора, али ћемо наћи покренута питања која се у другачијим облицима стално наново јављају у саврменој физици и филозофији

3 Простор Платон Најпре треба разумети Платонову дистинкцију три ствари:
оно што настаје оно у чему то настаје оно што је модел и извор оног што настаје

4 Простор Платон Најпре треба разумети Платонову дистинкцију три ствари:
оно што настаје оно у чему то настаје оно што је модел и извор оног што настаје У основи Платонове филозофије је идеја да ‘оно што настаје’, створени свет у коме живимо, јесте копија оног под 3 – идеалног света’ форми или идеја

5 Простор Платон Најпре треба разумети Платонову дистинкцију три ствари:
оно што настаје оно у чему то настаје оно што је модел и извор оног што настаје У основи Платонове филозофије је идеја да ‘оно што настаје’, створени свет у коме живимо, јесте копија оног под 3 – идеалног света’ форми или идеја Идеје имају највиши степен реалности, не могу да настају, да се мењају ни пропадају, нису доступне перцепцији већ се спознају рационалном интуицијом

6 Простор Платон Најпре треба разумети Платонову дистинкцију три ствари:
оно што настаје оно у чему то настаје оно што је модел и извор оног што настаје У основи Платонове филозофије је идеја да ‘оно што настаје’, створени свет у коме живимо, јесте копија оног под 3 – идеалног света’ форми или идеја Идеје имају највиши степен реалности, не могу да настају, да се мењају ни пропадају, нису доступне перцепцији већ се спознају рационалном интуицијом Најнижи степен реалности имају променљива бића, која настају и нестају, и сазнају се чулима

7 Простор Платон Зашто је Платону поред ове две врсте ствари потребна и трећа, ‘оно у чему’?

8 Простор Платон Зашто је Платону поред ове две врсте ствари потребна и трећа, ‘оно у чему’? Зато што је свако биће подложно настајању и нестајању ‘у сталном кретању; оно настаје на извесном месту и онда нестаје из тог истог места’

9 Простор Платон Зашто је Платону поред ове две врсте ствари потребна и трећа, ‘оно у чему’? Зато што је свако биће подложно настајању и нестајању ‘у сталном кретању; оно настаје на извесном месту и онда нестаје из тог истог места’ Такво кретање претпоставља извесно место које остаје док се кретање дешава

10 Простор Платон Зашто је Платону поред ове две врсте ствари потребна и трећа, ‘оно у чему’? Зато што је свако биће подложно настајању и нестајању ‘у сталном кретању; оно настаје на извесном месту и онда нестаје из тог истог места’ Такво кретање претпоставља извесно место које остаје док се кретање дешава То место не можемо наћи међу апсолутним и идеалним стварима (идејама) које ‘никада не примају у себе никакво спољашње биће, нити икада продиру у неко друго биће’

11 Простор Платон Зашто је Платону поред ове две врсте ствари потребна и трећа, ‘оно у чему’? Зато што је свако биће подложно настајању и нестајању ‘у сталном кретању; оно настаје на извесном месту и онда нестаје из тог истог места’ Такво кретање претпоставља извесно место које остаје док се кретање дешава То место не можемо наћи међу апсолутним и идеалним стварима (идејама) које ‘никада не примају у себе никакво спољашње биће, нити икада продиру у неко друго биће’ То место се дакле може наћи само у трећој врсти бића, у простору

12 Простор Платон Зашто је Платону поред ове две врсте ствари потребна и трећа, ‘оно у чему’? Зато што је свако биће подложно настајању и нестајању ‘у сталном кретању; оно настаје на извесном месту и онда нестаје из тог истог места’ Такво кретање претпоставља извесно место које остаје док се кретање дешава То место не можемо наћи међу апсолутним и идеалним стварима (идејама) које ‘никада не примају у себе никакво спољашње биће, нити икада продиру у неко друго биће’ То место се дакле може наћи само у трећој врсти бића, у простору Као и идеје, простор је неуништив, али за разлику од идеја у њега могу продирати друга бића

13 Простор Платон Зашто је Платону поред ове две врсте ствари потребна и трећа, ‘оно у чему’? Зато што је свако биће подложно настајању и нестајању ‘у сталном кретању; оно настаје на извесном месту и онда нестаје из тог истог места’ Такво кретање претпоставља извесно место које остаје док се кретање дешава То место не можемо наћи међу апсолутним и идеалним стварима (идејама) које ‘никада не примају у себе никакво спољашње биће, нити икада продиру у неко друго биће’ То место се дакле може наћи само у трећој врсти бића, у простору Као и идеје, простор је неуништив, али за разлику од идеја у њега могу продирати друга бића. Простор пружа место свим оним бићима која настају и нестају

14 Простор Платон Како ми спознајемо овај простор?

15 Простор Платон Како ми спознајемо овај простор?
Платон каже да га не спознајемо чулима, и сигурно подразумева да га не спознајемо ни интуицијом као идеје

16 Простор Платон Како ми спознајемо овај простор?
Платон каже да га не спознајемо чулима, и сигурно подразумева да га не спознајемо ни интуицијом као идеје За спознају простора служимо се геометријом

17 Простор Платон ‘Овакав простор видимо као у сну када кажемо: Нужно је да свет буде негде, на неком месту, и да заузима неки простор; са друге стране, што није ни на земљи ни негде на небесима, нужно није ништа’

18 Простор Платон ‘Овакав простор видимо као у сну када кажемо: Нужно је да свет буде негде, на неком месту, и да заузима неки простор; са друге стране, што није ни на земљи ни негде на небесима, нужно није ништа’ У овом цитату Платон покреће питање ‘Где је свет?’

19 Простор Платон ‘Овакав простор видимо као у сну када кажемо: Нужно је да свет буде негде, на неком месту, и да заузима неки простор; са друге стране, што није ни на земљи ни негде на небесима, нужно није ништа’ У овом цитату Платон покреће питање ‘Где је свет?’ Свет је по Платону ограничен, а простор је нужно бесконачан

20 Простор Платон ‘Овакав простор видимо као у сну када кажемо: Нужно је да свет буде негде, на неком месту, и да заузима неки простор; са друге стране, што није ни на земљи ни негде на небесима, нужно није ништа’ У овом цитату Платон покреће питање ‘Где је свет?’ Свет је по Платону ограничен, а простор је нужно бесконачан Свет дакле, плута у беконачном простору, као у сну који Платон помиње

21 Простор Платон ‘Овакав простор видимо као у сну када кажемо: Нужно је да свет буде негде, на неком месту, и да заузима неки простор; са друге стране, што није ни на земљи ни негде на небесима, нужно није ништа’ У овом цитату Платон покреће питање ‘Где је свет?’ Свет је по Платону ограничен, а простор је нужно бесконачан Свет дакле, плута у беконачном простору, као у сну који Платон помиње Међутим, што није ни на небу ни на земљи, тога нема

22 Простор Платон ‘Овакав простор видимо као у сну када кажемо: Нужно је да свет буде негде, на неком месту, и да заузима неки простор; са друге стране, што није ни на земљи ни негде на небесима, нужно није ништа’ У овом цитату Платон покреће питање ‘Где је свет?’ Свет је по Платону ограничен, а простор је нужно бесконачан Свет дакле, плута у беконачном простору, као у сну који Платон помиње Међутим, што није ни на небу ни на земљи, тога нема Супротстављајући се атомистима, Платон тврди да вакуум не постоји, а простор изван света, у коме нема ничега, био би вакуум, па дакле не може постојати

23 Простор Платон Атомисти су вакуум сматрали нужним условом могућности кретања. Платон, слично ономе што ће тврдити и Декарт, сматра да је сво кретање у пуном свету вртложно кретање

24 Простор Платон Атомисти су вакуум сматрали нужним условом могућности кретања. Платон, слично ономе што ће тврдити и Декарт, сматра да је сво кретање у пуном свету вртложно кретање ‘Не постоји празнина у коју би неко тело могло ући. Када ми избацимо дах из плућа, јасно је свакоме ... да тај дах не иде у празнину, већ да гура околни ваздух са места на коме је био. Изгурани ваздух даље гура ваздух који је до њега. По истој нужности, сав ваздух кружи; чим неки ваздух напусти једно место, други ваздух на то место долази као да је закачен за ваздух који се померио и попуњава то место. Све се ово дешава истовремено као код точка који се врти око осовине. Све се ово дешава јер нема вакуума.’

25 Простор Платон Тако Платон одбацује вакуум атомиста, и затим одбацује и њихове атоме, неодређене чврсте непробојне супстанције од којих се формирају тела.

26 Простор Платон Тако Платон одбацује вакуум атомиста, и затим одбацује и њихове атоме, неодређене чврсте непробојне супстанције од којих се формирају тела. По Платону једина стварна тела у простору су комбинације геометријских фигура

27 Простор Платон Тако Платон одбацује вакуум атомиста, и затим одбацује и њихове атоме, неодређене чврсте непробојне супстанције од којих се формирају тела. По Платону једина стварна тела у простору су комбинације геометријских фигура Теорија правилних полиедара открива суштине елемената – земље воде ваздуха ватре

28 Простор Платон Тако Платон одбацује вакуум атомиста, и затим одбацује и њихове атоме, неодређене чврсте непробојне супстанције од којих се формирају тела. По Платону једина стварна тела у простору су комбинације геометријских фигура Теорија правилних полиедара открива суштине елемената – земље воде ваздуха ватре Тимај најпре описује три правилна полиедра са троугаоном основом – тетраедар, октаедар и икосаедар, и затим описује коцку.

29 Простор Платон Тако Платон одбацује вакуум атомиста, и затим одбацује и њихове атоме, неодређене чврсте непробојне супстанције од којих се формирају тела. По Платону једина стварна тела у простору су комбинације геометријских фигура Теорија правилних полиедара открива суштине елемената – земље воде ваздуха ватре Тимај најпре описује три правилна полиедра са троугаоном основом – тетраедар, октаедар и икосаедар, и затим описује коцку. Он зна да постоји и пети правилни полиедар – пентагонални додекаедар, и каже да ‘постоји и пета комбинација коју је Бог користио при стварању света’, али само прве четири представљају суштине елемената

30 Простор Платон Тетраедар Хексаедар Коцка Октаедар Додекаедар Икосаедар

31 Простор Платон Земљи припада ‘коцкаста суштина’ јер је од свих елемената земља најмање покретна, а четвороугаона основа даје већу стабилност од троугаоне

32 Простор Платон Земљи припада ‘коцкаста суштина’ јер је од свих елемената земља најмање покретна, а четвороугаона основа даје већу стабилност од троугаоне Ватри приписујемо најпокретнији полиедар, са најмање страна, и најоштрији, који лакше може да сече и раздваја - тетраедар

33 Простор Платон Земљи припада ‘коцкаста суштина’ јер је од свих елемената земља најмање покретна, а четвороугаона основа даје већу стабилност од троугаоне Ватри приписујемо најпокретнији полиедар, са најмање страна, и најоштрији, који лакше може да сече и раздваја – тетраедар Ваздуху и води, према њиховој покретљивости, приписујемо октаедар и икосаедар

34 Простор Платон Тела доступна чулном опажању су комбинације честица које имају облик неког од ових полиедара: ‘Вероватно је и подесно дакле сматрати облик тетраедарног тела елементом и клицом ватре, другу фигуру елементом ваздуха (итд). Ова тела се морају схватити као толико мала да је нама немогуће да видимо једно од њих посебно, али када је огроман број тих тела заједно, ми видимо њихову гомилу.’

35 Простор Платон Како тумачити овакву теорију без противуречности?

36 Простор Платон Како тумачити овакву теорију без противуречности?
Како је Платон веровао да може испунити простор икосаедрима и октаедрима а да међу њима нема празног простора, и да се при том те фигурице стално крећу?

37 Простор Платон Како тумачити овакву теорију без противуречности?
Како је Платон веровао да може испунити простор икосаедрима и октаедрима а да међу њима нема празног простора, и да се при том те фигурице стално крећу? Слично питање поставиће се код Декарта, који је такође одбацивао вакуум, сматрао да се тела састоје од чврстих честица, и да се сва материја креће у вртлозима

38 Простор Платон Следећа важна сличност са Декартом је у томе што Платон није приписао овим фигурицама од којих је материја састављена никакав други принцип или суштину сем протежности

39 Простор Платон Следећа важна сличност са Декартом је у томе што Платон није приписао овим фигурицама од којих је материја састављена никакав други принцип или суштину сем протежности Зато Аристотел каже да у Тимају Платон поистовећује протежност тела, тј простор, са принципом који остаје исти кроз све промене тела, принципом који је Аристотел звао хиле, а његови латински коментатори материја (упоредите са првим предавањем о промени)

40 Простор Платон Следећа важна сличност са Декартом је у томе што Платон није приписао овим фигурицама од којих је материја састављена никакав други принцип или суштину сем протежности Зато Аристотел каже да у Тимају Платон поистовећује протежност тела, тј простор, са принципом који остаје исти кроз све промене тела, принципом који је Аристотел звао хиле, а његови латински коментатори материја (упоредите са првим предавањем о промени) Тако Платон у Тимају каже да су протежност и материја иста ствар, тј да су простор и материја иста ствар, као што је касније тврдио и Декарт

41 Простор Платон Аристотел је одбацио овакво поистовећивање протежности (окупиране телом), места, и принципа који преживљава промену – материје.

42 Простор Платон Аристотел је одбацио овакво поистовећивање протежности (окупиране телом), места, и принципа који преживљава промену – материје. Материја, каже, не може да се одвоји од ствари. Простор, напротив, може.

43 Простор Платон Аристотел је одбацио овакво поистовећивање протежности (окупиране телом), места, и принципа који преживљава промену – материје. Материја, каже, не може да се одвоји од ствари. Простор, напротив, може. Због тога је, заправо, локално кретање могуће. Ако локално кретање заузима простор, једна иста материја мора да остави једно место да би заузела друго. Дакле материја мора бити нешто другачије од места.

44 Простор Платон Ако сте очекивали од Платона заокружену теорију простора, остаћете разочарани.

45 Простор Платон Ако сте очекивали од Платона заокружену теорију простора, остаћете разочарани. Ипак велики значај Платонове приче је несумњив, јер су покренута многа питања:

46 Простор Платон Ако сте очекивали од Платона заокружену теорију простора, остаћете разочарани. Ипак велики значај Платонове приче је несумњив, јер су покренута многа питања: Метафизичко питање: каква врста ствари је простор?

47 Простор Платон Ако сте очекивали од Платона заокружену теорију простора, остаћете разочарани. Ипак елики значај Платонове приче је несумњив, јер су покренута многа питања: Метафизичко питање: каква врста ствари је простор? Или прецизније, каква врста ствари је простор, с обзиром да је и физички и нематеријалан?

48 Простор Платон Ако сте очекивали од Платона заокружену теорију простора, остаћете разочарани. Ипак елики значај Платонове приче је несумњив, јер су покренута многа питања: Метафизичко питање: каква врста ствари је простор? Или прецизније, каква врста ствари је простор, с обзиром да је и физички и нематеријалан? (Сличан проблем се јавља са свешћу – она има физичке аспекте, нпр. моћ да делује на тело, али не изгледа да је материјална)

49 Простор Платон Ако сте очекивали од Платона заокружену теорију простора, остаћете разочарани. Ипак елики значај Платонове приче је несумњив, јер су покренута многа питања: Метафизичко питање: каква врста ствари је простор? Или прецизније, каква врста ствари је простор, с обзиром да је и физички и нематеријалан? (Сличан проблем се јавља са свешћу – она има физичке аспекте, нпр. моћ да делује на тело, али не изгледа да је материјална) Епистемолошко питање: како спознајемо простор?

50 Простор Платон Трећу врсту питања о простору коју Платон покреће можемо назвати физичком: каква је улога простора у науци (физици)?

51 Простор Платон Трећу врсту питања о простору коју Платон покреће можемо назвати физичком: каква је улога простора у науци (физици)? Или прецизније, каква је и да ли уопште има интеракције између простора и материјалних тела?

52 Простор Платон Трећу врсту питања о простору коју Платон покреће можемо назвати физичком: каква је улога простора у науци (физици)? Или прецизније, каква је и да ли уопште има интеракције између простора и материјалних тела? Иако није јасно како се та интеракција дешава, ипак имамо јасан одговор да по Платону интеракција постоји, да простор и материјална тела покрећу једно друго, и да је утицај простора на материју разлог из кога су елементи (земља ваздух ватра вода) поређани тако како су поређани

53 Простор Еуклид Вероватно је немогуће преценити утицај Еуклидовог геометријског система откако је око 300 пне представљен у књизи Елементи. Поред своје практичне примене у архитектури и мерењу земљишта, ова Еуклидова књига је утицала на схватања ететске вредности, представљала модел закључивања и била парадигма научног сазнања. У овом контексту нас интересује Еуклидова геометрија јер се може схватити као теорија простора. Објаснићемо део онога што се подразумева под појмом ‘Еуклидски простор’.

54 Простор Еуклид Пре Елемената геометрија није била у потпуности систематска наука. Нпр Египћани су знали много геометријских истина (данас бисмо рекли теорема) и како да их примене, али нису знали какав је логички однос међу њима. Што је још важније, њихово знање није примарно било изведено дедукцијом, као у Елементима, већ из искуства. Грци су преузели и развили египатско знање. Талес је то радио у (отприлике) 7 веку пне, и он и други (укључујући Еудокса и Теетета) извели су доказе неких геометријских истина полазећи од једноставних претпоставки. На тај начин су откривени логички односи између познетих геометријских истина. Постало је јасно да све те истине следе из основних принципа.

55 Простор Еуклид Еуклид је организовао доказе који су били познати у његово време, неке појаснио, и додао неке своје. Његови Елементи показују да је сво геометријско знање дедуктивна последица пет основних ‘постулата’ и дефиниција Еуклидова изузетност није у томе што је открио да су постулати истинити (они су, са изуетком можда петог постулата, прилично тривијални). Његов допринос је у томе што је пронашао који су постулати довољни да се из њих докажу теореме геометрије С обзиром да је логички след транзитивна релација, ако једна теорема следи директно из постулата, а друга теорема директно из прве, онда и друга теорема следи из постулата. Ово је од велике помоћи, јер када се нека теорема једном докаже, може се подразумевати у доказу друге теореме. Нпр теорема 32 следи из теорема 13, 29 и 31, а ове из теорема 11, 13, 15, 23, и 27, тако даље до постулата

56 Простор Еуклид Да ли је Еуклидов систем добар?

57 Простор Еуклид Да ли је Еуклидов систем добар? Шта значи ово питање?

58 Простор Еуклид Да ли је Еуклидов систем добар? Шта значи ово питање?
Може значити, између осталог, две ствари: Да ли је Еуклидова геометрија непротивуречан систем?

59 Простор Еуклид Да ли је Еуклидов систем добар? Шта значи ово питање?
Може значити, између осталог, две ствари: Да ли је Еуклидова геометрија непротивуречан систем? Да ли Еуклидова геометрија тачно описује физички свет (простор)?

60 Простор Еуклид Да ли је Еуклидов систем добар? Шта значи ово питање?
Може значити, између осталог, две ствари: Да ли је Еуклидова геометрија непротивуречан систем? Да ли Еуклидова геометрија тачно описује физички свет (простор)? Прво питање остављамо за касније

61 Простор Еуклид Да ли је Еуклидов систем добар? Шта значи ово питање?
Може значити, између осталог, две ствари: Да ли је Еуклидова геометрија непротивуречан систем? Да ли Еуклидова геометрија тачно описује физички свет (простор)? Прво питање остављамо за касније Друго пита да ли је реалан простор еуклидски простор.

62 Простор Еуклид Шта је еуклидски простор?

63 Простор Еуклид Шта је еуклидски простор?
То је оно о чему се Еуклидове аксиоме могу истинито тврдити

64 Простор Еуклид Шта је еуклидски простор?
То је оно о чему се Еуклидове аксиоме могу истинито тврдити Битне карктеристике е. простора: Бесконачност Састоји се од тачака

65 Простор Еуклид Неке колекције тачака чине линије
Друге колекције чине (дводимензионалне) површи

66 Простор Еуклид Неке колекције тачака чине линије
Друге колекције чине (дводимензионалне) површи Те линије и површи могу да буду границе неких фигура и тела, као што су троугао, квадрат, коцка, пирамида, тако да и ове припадају простору (тј оне су делови простора)

67 Простор Еуклид Неке колекције тачака чине линије
Друге колекције чине (дводимензионалне) површи Те линије и површи могу да буду границе неких фигура и тела, као што су троугао, квадрат, коцка, пирамида, тако да и ове припадају простору (тј оне су делови простора) Тачке у еуклидском простору су ‘густе’, значи да између сваке две тачке на једној линији можемо наћи бар још једну тачку

68 Простор Зенон Зеноновим парадоксима бавићемо са овог аспекта:
Премиса: Простор је описан еуклидском геометријом Закључак: Кретање је немогуће

69 Простор Зенон Зеноновим парадоксима бавићемо са овог аспекта:
Премиса: Простор је описан еуклидском геометријом Закључак: Кретање је немогуће Дакле, у контексту филозофије простора, бавићемо се оним Зеноновим парадоксима чије премисе подразумевају неке битне одлике еуклидског простора

70 Простор Зенон - дихотомија
П1 Сваки сегмент може да се подели на два сегмента З1.1 Сваки сегмент се може делити на сегменте без ограничења З1.2 Сваки сегмент се састоји од бесконачно много сегмената

71 Простор Зенон - дихотомија
П1 Сваки сегмент може да се подели на два сегмента З1.1 Сваки сегмент се може делити на сегменте без ограничења З1.2 Сваки сегмент се састоји од бесконачно много сегмената П2 Сваки сегмент има коначну дужину П3 Дужина сегмента = збир дужина сегмената од којих је састављен З2 Дужина сегмента = збир бесконачно много коначних дужина

72 Простор Зенон - дихотомија
П1 Сваки сегмент може да се подели на два сегмента З1.1 Сваки сегмент се може делити на сегменте без ограничења З1.2 Сваки сегмент се састоји од бесконачно много сегмената П2 Сваки сегмент има коначну дужину П3 Дужина сегмента = збир дужина сегмената од којих је састављен З2 Дужина сегмента = збир бесконачно много коначних дужина П4 Збир бесконачно много коначних дужина је бесконачан З3 Сваки сегмент је бесконачно дугачак

73 Зенон – парадокс мноштва
Простор Зенон – парадокс мноштва П1 Сваки коначни сегмент се састоји од бесконачно много идентичних тачака П2 Тачка има дужину или равну нули или коначну дужину З1 Дужина сегмента = 0 З2 Дужина сегмента = 

74 Простор Зенон - стрела П1 Тренуци немају делове
П2 Ако се стрела креће током једног тренутка онда тај тренутак има раније и касније делове З1 Ни у једном тренутку стрела се не креће

75 Простор Зенон - стрела П1 Тренуци немају делове
П2 Ако се стрела креће током једног тренутка онда тај тренутак има раније и касније делове З1 Ни у једном тренутку стрела се не креће П3 Ако се ни у једном тренутку стрела се не креће, онда се уопште не креће З2 Стрела се не креће

76 Простор Пре но што кренемо да расправљамо предложена решења Зенонових парадокса, увешћемо неколико веома корисних појмова. Молим вас научите их добро јер ћемо их често користити до краја курса. Ти појмови су 1-1 кардиналност пребројиво непребројиво континуум 0 1

77 Ово је пример пресликавања 1-1: један скуп се пресликава на други тако што се сваком члану првог скупа придружује један и само један члан другог скупа, и обрнуто.

78 Ово је пример пресликавања 1-1: један скуп се пресликава на други тако што се сваком члану првог скупа придружује један и само један члан другог скупа, и обрнуто. Када је могуће пресликавање 1-1 два скупа, онда кажемо да су та два скупа исте величине, тј имају исти број чланова.

79

80

81

82 Од ових пресликавања само је горе лево пресликавање 1-1.

83 Сасвим је јасно да ако постоји 1-1 пресликавање два коначна скупа, онда су они исте виличине, тј имају исти број чланова. Сада ћемо исто правило применити на бесконачне скупове и видети шта из тога произилази.

84 Сасвим је јасно да ако постоји 1-1 пресликавање два коначна скупа, онда су они исте виличине, тј имају исти број чланова. Сада ћемо исто правило применити на бесконачне скупове и видети шта из тога произилази. Очигледно природних бројева и негативних целих бројева ‘има исто’, тј скуп природних бројева је исте величине као скуп негативних целих бројева: природни 1 2 3 4 5 6 ... нег. цели -1 -2 -3 -4 -5 -6

85 Исто важи за парне и непарне бројеве:
Сасвим је јасно да ако постоји 1-1 пресликавање два коначна скупа, онда су они исте виличине, тј имају исти број чланова. Сада ћемо исто правило применити на бесконачне скупове и видети шта из тога произилази. Очигледно природних бројева и негативних целих бројева ‘има исто’, тј скуп природних бројева је исте величине као скуп негативних целих бројева: Исто важи за парне и непарне бројеве: природни 1 2 3 4 5 6 ... нег. цели -1 -2 -3 -4 -5 -6 непарни 1 3 5 7 ... 2n-1 парни 2 4 6 8 2n

86 Али природних би требало да буде више него парних, с обзиром да се сви парни могу пресликати на природне, а да остане вишка природних без свог пара: природни 1 2 3 4 5 6 ... парни

87 Али природних би требало да буде више него парних, с обзиром да се сви парни могу пресликати на природне, а да остане вишка природних без свог пара: Међутим наше правило каже да ако је 1-1 пресликавање могуће, онда су два скупа исте величине. Горње пресликавање нам не говори ништа о томе природни 1 2 3 4 5 6 ... парни

88 Али природних би требало да буде више него парних, собзиром да се сви парни могу пресликати на природне, а да остане вишка природних без свог пара: Међутим наше правило каже да ако је 1-1 пресликавање могуће, онда су два скупа исте величине. Горње пресликавање нам не говори ништа о томе Ово пресликавање показује да парних и природних има исто, јер их је могуће довести у 1-1 кореспонденцију природни 1 2 3 4 5 6 ... парни природни 1 2 3 4 ... n парни 6 8 2n

89 Хилбертов хотел 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... Хилбертов хотел је бесконачан – соба има колико и природних бројева. Замислимо да је хотел пун. Јавља се упорна муштерија и тражи собу. Како наћи места за њу у пуном хотелу?

90 Замолићемо сваког госта да пређе у суседну собу
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... Замолићемо сваког госта да пређе у суседну собу

91 Црно поље означава празну собу
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... n n+1 Црно поље означава празну собу

92 Примили смо новог путника и хотел је опет пун.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... Примили смо новог путника и хотел је опет пун. Сада имамо нову, још гору навалу. Наилази аутобус са бесконачно много места, и на сваком месту је по један уморну путник који захтева собу у хотелу.

93 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... n 2n

94 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... n 2n Замолили смо сваког госта да пређе у собу са дупло већим бројем, и тиме добили бесконачно много празних соба (црна поља), тако да ће сви путници из аутобуса добити по собу

95 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... Хотел је поново пун, али најезда не престаје: стиже бесконачно много аутобуса, од којих је сваки бесконачан и вози бесконачно много путника. Где ћемо их?

96 n 2n Најпре ослободимо непарне собе 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
15 ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... n 2n Најпре ослободимо непарне собе

97 n 2n Најпре ослободимо непарне собе
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... n 2n Најпре ослободимо непарне собе Сада ћемо за сваки аутобус изабрати по један прост број, али пре тога морамо да се уверимо да простих бројева има довољно за све аутобусе (тј. да простих бројева има бесконачно)

98 Не постоји највећи прост број
(тј. скуп свих простих бројева је бесконачан)

99 Доказ путем reduction ad absurdum:
Не постоји највећи прост број (тј. скуп свих простих бројева је бесконачан) Доказ путем reduction ad absurdum: (Елементи, књига 9, став 20. Радојчић стр 107)

100 Доказ путем reduction ad absurdum:
Не постоји највећи прост број (тј. скуп свих простих бројева је бесконачан) Доказ путем reduction ad absurdum: (Елементи, књига 9, став 20. Радојчић стр 107) Претпоставимо супротно, тј. да постоји природни број који је прост и већи од било ког другог простог броја, и зовимо га р.

101 Доказ путем reduction ad absurdum:
Не постоји највећи прост број (тј. скуп свих простих бројева је бесконачан) Доказ путем reduction ad absurdum: (Елементи, књига 9, став 20. Радојчић стр 107) Претпоставимо супротно, тј. да постоји природни број који је прост и већи од било ког другог простог броја, и зовимо га р. Нека су p1, p2, ..., pn сви прости бројеви мањи од p.

102 Доказ путем reduction ad absurdum:
Не постоји највећи прост број (тј. скуп свих простих бројева је бесконачан) Доказ путем reduction ad absurdum: (Елементи, књига 9, став 20. Радојчић стр 107) Претпоставимо супротно, тј. да постоји природни број који је прост и већи од било ког другог простог броја, и зовимо га р. Нека су p1, p2, ..., pn сви прости бројеви мањи од p. Размотримо сада број q = p1 p2  ...  pn + 1

103 Доказ путем reduction ad absurdum:
Не постоји највећи прост број (тј. скуп свих простих бројева је бесконачан) Доказ путем reduction ad absurdum: (Елементи, књига 9, став 20. Радојчић стр 107) Претпоставимо супротно, тј. да постоји природни број који је прост и већи од било ког другог простог броја, и зовимо га р. Нека су p1, p2, ..., pn сви прости бројеви мањи од p. Размотримо сада број q = p1 p2  ...  pn + 1 q није дељив ниједним природним бројем сем 1 и самим собом. Дакле, q је прост број.

104 Доказ путем reduction ad absurdum:
Не постоји највећи прост број (тј. скуп свих простих бројева је бесконачан) Доказ путем reduction ad absurdum: (Елементи, књига 9, став 20. Радојчић стр 107) Претпоставимо супротно, тј. да постоји природни број који је прост и већи од било ког другог простог броја, и зовимо га р. Нека су p1, p2, ..., pn сви прости бројеви мањи од p. Размотримо сада број q = p1 p2  ...  pn + 1 q је већи од p.

105 Доказ путем reduction ad absurdum:
Не постоји највећи прост број (тј. скуп свих простих бројева је бесконачан) Доказ путем reduction ad absurdum: (Елементи, књига 9, став 20. Радојчић стр 107) Претпоставимо супротно, тј. да постоји природни број који је прост и већи од било ког другог простог броја, и зовимо га р. Нека су p1, p2, ..., pn сви прости бројеви мањи од p. Размотримо сада број q = p1 p2  ...  pn + 1 q је већи од p. Дакле, q је прост број већи од p, што противуречи нашој претпоставци да је p највећи прост број.

106 Доказ путем reduction ad absurdum:
Не постоји највећи прост број (тј. скуп свих простих бројева је бесконачан) Доказ путем reduction ad absurdum: (Елементи, књига 9, став 20. Радојчић стр 107) Претпоставимо супротно, тј. да постоји природни број који је прост и већи од било ког другог простог броја, и зовимо га р. Нека су p1, p2, ..., pn сви прости бројеви мањи од p. Размотримо сада број q = p1 p2  ...  pn + 1 q је већи од p. Дакле, q је прост број већи од p, што противуречи нашој претпоставци да је p највећи прост број. Закључак: не постоји највећи прост број. QED

107 1. аутобус: путник n иде у собу 3n
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 1. аутобус: путник n иде у собу 3n

108 1. аутобус: путник n иде у собу 3n
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... а1п1 а1п2 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... а1п3 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ... 1. аутобус: путник n иде у собу 3n

109 2. аутобус: путник n иде у собу 5n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... а1п1 а2п1 а1п2 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... а2п2 а1п3 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ... 2. аутобус: путник n иде у собу 5n

110 3. аутобус: путник n иде у собу 7n
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... а1п1 а2п1 а3п1 а1п2 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... а1п3 а2п2 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ... 3. аутобус: путник n иде у собу 7n и тако даље: за сваки аутобус по један прост број.

111 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ... Bus Bus Bus Bus Bus Bus Bus Bus Bus

112 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ... Тако смо сместили све путнике. Бели квадрати горе означавају собе са новим путницима. Стари гости су у парним собама.

113 Шта је са црним квадратима?
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ... Тако смо сместили све путнике. Бели квадрати горе означавају собе са новим путницима. Стари путници су у парним собама. Шта је са црним квадратима?

114 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ... Тако смо сместили све путнике. Бели квадрати горе означавају собе са новим путницима. Стари путници су у парним собама. Шта је са црним квадратима? Те су собе остале празне. Њихови бројеви су дељиви производом нека два различита проста броја (сем прве собе)

115 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ...

116 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ... 15 = 3  = 5  7 21 = 3  = 3  11 33 = 3  = 9  5 = 32  5

117 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ... 3n  5m 3n  13m 3n  7m 3n  17m 3n  11m

118 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ... 5n  7m 5n  11m 5n  13m 3n  5m 3n  13m 3n  7m 3n  17m 3n  11m

119 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ... 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 ... 3n  5m  7p 3n  5m  7p 19q  43t 5n  7m 5n  11m 5n  13m 3n  5m 3n  13m 3n  7m 3n  17m 3n  11m

120 Колико има рационалних бројева (разломака)?

121 Колико има рационалних бројева?
Између свака два природна броја има бесконачно много разломака, нпр између 1 и 2 су 1½, 1¼ итд.

122 Колико има рационалних бројева?
Између свака два природна броја има бесконачно много разломака, нпр између 1 и 2 су 1½, 1¼ итд. Штавише, не само између свака два природна броја, већ и између свака два рационална броја има бесконачно много рационалних бројева.

123 Колико има рационалних бројева?
Између свака два природна броја има бесконачно много разломака, нпр између 1 и 2 су 1½, 1¼ итд. Штавише, не само између свака два природна броја, већ и између свака два рационална броја има бесконачно много рационалних бројева. Зато изгледа да рационалних мора бити више од природних.

124 Ова матрица садржи све рационалне бројеве

125 Матрица десно показује да се и природни бројеви могу представити матрицом, тако да за сваки природни број можемо да израчунамо у којој колони и којој врсти се налази

126 Матрица десно показује да се и природни бројеви могу представити матрицом, тако да за сваки природни број можемо да израчунамо у којој колони и којој врсти се налази Али то значи да је могуће пресликавање 1-1 рационалних на природне бројеве

127 природни 1 2 3 4 5 6 ... рационални 1/1 2/1 2/2 1/2 3/1 3/2

128 Тако смо показали да су по нашем критеријуму скупови парних, непарних, простих, природних, дељивих са 3, дељивих са 17, рационалних бројева сви једнаке величине

129 Тако смо показали да су по нашем критеријуму скупови парних, непарних, простих, природних, дељивих са 3, дељивих са 17, рационалних бројева сви једнаке величине Другим речима, каже се да су наведени скупови исте кардиналности.

130 Тако смо показали да су по нашем критеријуму скупови парних, непарних, простих, природних, дељивих са 3, дељивих са 17, рационалних бројева сви једнаке величине Другим речима, каже се да су наведени скупови исте кардиналности. Кардинални број неког скупа је број елемената тог скупа

131 Тако смо показали да су по нашем критеријуму скупови парних, непарних, простих, природних, дељивих са 3, дељивих са 17, рационалних бројева сви једнаке величине Другим речима, каже се да су наведени скупови исте кардиналности. Кардинални број неког скупа је број елемената тог скупа Тако је скуп дана у недељи кардиналности 7

132 Тако смо показали да су по нашем критеријуму скупови парних, непарних, простих, природних, дељивих са 3, дељивих са 17, рационалних бројева сви једнаке величине Другим речима, каже се да су наведени скупови исте кардиналности. Кардинални број неког скупа је број елемената тог скупа Тако је скуп дана у недељи кардиналности 7 За бесконачне скупове такође уводимо кардиналност

133 Тако смо показали да су по нашем критеријуму скупови парних, непарних, простих, природних, дељивих са 3, дељивих са 17, рационалних бројева сви једнаке величине Другим речима, каже се да су наведени скупови исте кардиналности. Кардинални број неког скупа је број елемената тог скупа Тако је скуп дана у недељи кардиналности 7 За бесконачне скупове такође уводимо кардиналност Кардиналност скупа природних бројева је 0 (чита се ‘алеф нула’)

134 Тако смо показали да су по нашем критеријуму скупови парних, непарних, простих, природних, дељивих са 3, дељивих са 17, рационалних бројева сви једнаке величине Другим речима, каже се да су наведени скупови исте кардиналности. Кардинални број неког скупа је број елемената тог скупа Тако је скуп дана у недељи кардиналности 7 За бесконачне скупове такође уводимо кардиналност Кардиналност скупа природних бројева је 0 (чита се ‘алеф нула’) Сви скупови који се могу довести у 1-1 кореспонденцију са скупом природних бројева имају кардиналност 0

135 Да ли је могућа кардиналност већа од 0?

136 Да ли је могућа кардиналност већа од 0?
Другим речима, да ли постоји бесконачни скуп који се не може довести у 1-1 пресликавање са скупом прородних бројева?

137 Да ли је могућа кардиналност већа од 0?
Другим речима, да ли постоји бесконачни скуп који се не може довести у 1-1 пресликавање са скупом прородних бројева? До сада нисмо испитали скуп реалних бројева

138 Да ли је могућа кардиналност већа од 0?
Другим речима, да ли постоји бесконачни скуп који се не може довести у 1-1 пресликавање са скупом прородних бројева? До сада нисмо испитали скуп реалних бројева Претпоставимо да је могуће 1-1 пресликавање са природним бројевима

139 Да ли је могућа кардиналност већа од 0?
Другим речима, да ли постоји бесконачни скуп који се не може довести у 1-1 пресликавање са скупом прородних бројева? До сада нисмо испитали скуп реалних бројева Претпоставимо да је могуће 1-1 пресликавање са природним бројевима За почетак нећемо разматрати све реалне бројеве, већ само оне веће од 0 и мање од 1. Реалне бројеве ћемо представити у децималном запису, са бесконачним бројем децимала Сваки реални број се може тако претставити, чак и цели бројеви. Нпр. 3 = 2,

140 Наша претпоставка да је могућа 1-1 кореспонденција природних и реалних бројева садржи се у тврдњи да сваки реални број мањи од 1 и већи од 0 има своје место у горњој таблици. Тако би сваки реални број био придружен једном природном броју

141 другу колону са нулама нећемо узети у обзир

142 На остатку таблице уочимо дијагоналу

143 Дефинишимо број r0 овако:
 5, ако је n-та децимала броја rn  5 n-та децимала броја r0 =   6, ако је n-та децимала броја rn  5

144 r0 0. 6 5 ... Дефинишимо број r0 овако:
 5, ако је n-та децимала броја rn  5 n-та децимала броја r0 =   6, ако је n-та децимала броја rn  5 r0 0. 6 5 ...

145 r0 смо дефинисали тако се мора разликовати од сваког реалног броја на листи
Значи да пресликавање 1-1 није могуће, супротно нашој претпоставци

146 Тако смо пронашли још једну кардиналност поред 0, и зваћемо је 1
Скупови чија је кардиналност 0 се називају пребројивим Скупови чија је кардиналност већа од 0 називају се непребројивим Сем скупа реалних бројева, који је још скуп непребројив? Било која геометријска линија, посматрана као скуп тачака, је један непребројив скуп Линија је скуп тачака кардиналности 1, или континуум То значи да пуна линија нема ‘рупа’ Када би свакој тачки на линији одговарао један рационални број, она би била пуна рупа, јер ирационални бројеви не би имали своју одговарајућу тачку Ако свакој тачки одговара један реални број, онда је линија пуна и без рупа.

147 Питања за вежбу У белшкама имате тзв. прогресивну верзију Зенонове дихотомије. По регресивној верзији, да бисмо дошли до неке тачке, најпре морамо да достигнемо половину, а пре тога четвртину, итд. Значи, да бисмо се уопште покренули, морамо да пређемо бесконачно много коначних интервала. Зато, по Зенону, не можемо ни да почнемо кретање. Анализирајте овај аргумент и представите експлицитно премисе и закључак, као што је то урађено у белешкама. Покажите да су сви ови скупови бројева пребројиви: {0, 1, 2, 3, ...} {0, 10, 100, 1000, ...} {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} скуп свих позитивних и негативних рационалних бројева Да ли бесконачна права линија има 'више' тачака од неке коначне линије? Можете ли да искористите појмове са данашњег предавања да решите Аристотелов точак?